Toán 9 - Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Các phương pháp chứng minh BĐT 
 1
(phần 1)
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 2
Chương I 
Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó 
để chứng minh 
BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng: 
· Dạng 1: 2a b ab+ ³ với a,b là các số không âm 
· Dạng 2: 2 2 2a b ab+ ³ với mọi a,b 
Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là: 
· Hệ quả 1: 2 2 22( ) ( ) 4a b a b ab+ ³ + ³ với mọi a,b 
· Hệ quả 2: 
1 1 4
a b a b
+ ³
+
với a,b dương 
· Hệ quả 3: 2
a b
b a
+ ³ với a,b dương 
I.Các bài toán cơ bản 
Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
1 11) 4 2) 8
3) 2 2 2 8
a b a b b c c a abc
a b
a b c b c a c a b a b b c c a
æ ö+ + ³ + + + ³ç ÷
è ø
+ + + + + + ³ + + +
Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh; 
 ( ) ( ) ( )22 2 23 3a b c a b c ab bc ca+ + ³ + + ³ + + 
Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( ) ( )
( )
3 4
3 3 4 4
6
6 6
1) 2)
4 8
3)
32
a b a b
a b a b
a b
a b
+ +
+ ³ + ³
+
+ ³
Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh: 
1 1 1 2 2 21)
2) 4
a b c a b b c c a
b c c a a b a b c
a b c b c a c a b
+ + ³ + +
+ + +
+ + + æ ö+ + ³ + +ç ÷+ + +è ø
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 3
Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh: 
( )1 1 11) 9 2)
1 1 13)
bc ca aba b c a b c
a b c a b c
a b c
bc ca ab a b c
æ ö+ + + + ³ + + ³ + +ç ÷
è ø
+ + ³ + +
Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 2 2
3 33
2 2
2 2
1) 2) 4( )
3) 2 2( )
a b a ba b a b a b
b a b a
a b a b
b a
+ ³ + + + + ³ +
+ ³ +
II.Các bài toán nâng cao 
 Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh: 
2 2 2 21 1 25 1 1 251) 2)
2 2
1 1 25 1 1 253) 4)
4 4
a b a b
a b b a
a b a b
a b b a
æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + ³ + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
æ öæ ö æ öæ ö+ + ³ + + ³ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷
è øè ø è øè ø
 Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh; 
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1)
2
1 1 12) 3 ( 1)
2
a b c a b c
b c c a a b abc
a b c a b c
b c c a a b abc
+ +
+ + £
+ + +
+ +
+ £ + + + =
+ + +
 Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
1)
2 2 2 4
1 1 1 1 1 12)
3 3 3 4 4 4
1 1 1 1 1 13)
2 2 2 4 4 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
a b b c c a a b c
a b c b c a c a b a b c
+ +
+ + £
+ + + + + +
+ + £ + +
+ + +
+ + £ + +
+ + + + + +
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 4
 Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có: 
3 31) 2 3 2)
2
a b c
a b c
m m ma b c
m m m a b c
+ + ³ + + ³ 
 Với , ,a b cm m m là trung tuyến của các cạnh tam giác. 
Chương II 
Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để 
chứng minh 
Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT 
Cauchy bốn số và n số. 
I.Các bài toán cơ bản 
 Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh: 
 ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 11) 9 2) 16a b c a b c d
a b c a b c d
æ ö æ ö+ + + + ³ + + + + + + ³ç ÷ ç ÷
è ø è ø 
 Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
 ( )( ) ( )
31)
2
2) 2 2 2 64
1 1 13) 1 1 1 64 ( 1)
a b c
b c a c a b
a b c b c a c a b abc
a b c
a b c
+ + ³
+ + +
+ + + + + + ³
æ öæ öæ ö+ + + ³ + + =ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
 Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
1) 3
2)
a b c a b b c c a abc
a b c a bc b ca c ab
+ + ³ + + ³
+ + ³ + +
 Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 5
3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 3 3
1) 2)
3)
a b c a b cab bc ca a b c
b c a b c a
a b c a b c
b c a b c a
+ + ³ + + + + ³ + +
+ + ³ + +
 Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
3 3 3
2 2 2
4 4 4 3 3 3
2 2 2
1)
2)
a b c a b c
b c a
a b c a b c
b c a b c a
+ + ³ + +
+ + ³ + +
 Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( )
3
23
1)
2)
a b c a b c
b c a abc
a b c ab bc ca
b c a abc
+ +
+ + ³
+ +
+ + ³ 
 Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 9 9
9
1
2 2
a b a b
b a
æ ö +
+ ³ç ÷
è ø
II.Các bài toán nâng cao 
 Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( )
3
23
1)
d
2)
d
a b c a b c
b c abc
a b c ab bc ca
b c abc
+ +
+ + ³
+ +
+ + ³
 Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 9 9
9
1
2 2
a b a b
b a
æ ö +
+ ³ç ÷
è ø
 Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh: 
 6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2a b c d a b c b c d c d a d a b+ + + ³ + + + 
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 6
Chương III 
Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT 
Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép: 
Cho một số nguyên dương 2n ³ và hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thỏa 
mãn điều kiện: 1 2 ... na a a³ ³ ³ và 1 2 ... nb b b³ ³ ³ . Khi đó ta có: 
 ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2
1... ... ...n n n na b a b a b a a a b b bn
+ + + ³ + + + + + + 
Hay ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b+ + + ³ + + + + + + 
Bài tập: 
Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ³
+ + 
Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
3
2
a b c
b c c a b a
+ + ³
+ + +
( BĐT Nesbit) 
Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 2
2 2 22 2 2
1)
2
3( )
2)
2
a b c a b c
b c c a b a
a b ca b c
b c c a b a
+ +
+ + ³
+ + +
+ +
+ + ³
+ + +
Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 1a b c+ + = 
 Tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2a b b c c aP
b c c a a b
+ + +
= + +
+ + +
Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh: 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 2 2
3
5
a b c
a b c b c a c a b
+ + ³
+ + + + + +
Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
1 1 1 1 1 1 9
1 1 1 1a b c a b c abc
æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷+ + + +è øè ø
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 7
Chương IV 
Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh 
BĐT 
Để chứng minh bất đẳng thức A B³ , hay 0A B- ³ , ta tìm cách biến đổi biểu thức 
A B- thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu 
thức bình phương. 
I.Các bài toán cơ bản 
 Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
 ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
1)
2) 3
3) 3
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + ³ + +
+ + ³ + +
+ + ³ + +
 Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( )2 2 2
1)
2) 3
bc ca ab a b c
a b c
bc ca ab a b c
a b c
+ + ³ + +
+ + ³ + +
 Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
( )( ) ( )
( )( )
1) 8a
2) 9a
a b b c c a bc
a b c ab ba ca bc
+ + + ³
+ + + + ³
 Bài 4.4: Chứng minh 3 3 3 3aa b c bc+ + ³ với 0a b c+ + ³ 
 Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
1) 6
1 1 1 92)
a b b c c a
c a b
a b c a b c
+ + +
+ + ³
+ + ³
+ +
Các phương pháp chứng minh BĐT 
 8
 II.Các bài toán nâng cao 
Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 2a b c a b c
b c a
+ + ³ + + 
Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ³
+ + +
Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho , ,a b c là số đo ba cạnh 
của một tam giác. Chứng minh: 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0a b c a b c b c a b a c c a c c b a+ - - + + + - + - + + - + - ³ 
 Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a b c³ ³ . Chứng minh: 
3
2
a b c
a b b c c a
+ + ³
+ + +
 Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 
 ( )( )( ) ( )33 3 31 1 1 1a b c abc- - - £ - 
Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác