Toán 9 - Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ngày soạn : /./ 2009
Ngày giảng:.. /../ 2009
CHỦ ĐỀ 3:
PHƯƠNG TRÌNH - Hậ́ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Mục tiờu:
	* Giúp học sinh nắm được kiờ́n thức toàn chương mụ̣t cách cụ đọng, thụng qua hợ̀ thụ́ng các bài tọ̃p từ dờ̃ đờ́n khó bằng viợ̀c sử dụng các phương pháp giải hợ̀ phưong trình, biờ́t cách lọ̃p hợ̀ phương trình.
	* Rèn luyợ̀n kĩ năng giải toán mụ̣t cách khoa học phát triờ̉n tư duy logic, sáng tạo vọ̃n dụng vào các tình huụ́ng khác nhau và biờ́t cách tự giải quyờ́t.
	* Giáo dục sự yờu thích bụ̣ mụn toán thụng qua các bài toán thực tờ́ vọ̃n dụng vào thực tờ́
II. Nụ̣i dung cụ thờ̉
	A. Lí thuyờ́t :
1. Định nghĩa:
	Phương trình bậc nhất hai ấn số là phương trình có dạng ax + by = c 
 (a, b, c là các hàng số a, b không đồng thời bằng 0).
2. Công thức nghiệm:
	Phương trình bậc nhất hai ấn số ax + by = c có vô số nghiệm.
- Nếu a, b ạ 0 thì nghiệm tổng quát của phương trình.
 hoặc 
Biểu diễn trên mặt thấy toạ độ, tập nghiệm của phương trình là đường thẳng ax + by = c.
- Nếu a =0, b ạ 0 (0x + by = c) thì nghiệm tổng quát của phương trình:	
	x ẻ R
	y = 
Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ, tập nghiệm của phương trình là đúng thấy y = . Song song với trục hoanh (c ạ 0) và tuỳ trục hoành (c = c).
- Nếu a ạ 0, b = 0 (ax + 0y = c) thí nghiệm tổng quát của phương trình: 	
Biểu diễn trên mặt phẳng tạo độ, tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x = song song với trục tung (c ạ 0) và trùng với Oy (c = 0).
3. Xét hợ̀ phương trình: 
* Nờ́u Hợ̀ có vụ sụ́ nghiợ̀m 
* Nờ́u Hợ̀ vụ nghiợ̀m 
* Nờ́u Hợ̀ cụ́ nghiợ̀m duy nhṍt 
4. Các quy tắc thờ́; cụ̣ng đại sụ́ giải hợ̀ phương trình bọ̃c nhṍt hai õ̉n
B. Bài tập 
Bài 1: Biết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ sau:
	a) x - y = 3	c) 0x+ 2y = 4
	b) x + y = 0	d) x + 0y = -1
Giải:
a) Nghiệm tổng quát của phương trình.
	2x - y = 3 là :	(x ẻ R; y = 2x – 3 )
Tập nghiệm của phương trình zx - y = 3 là đường thẳng y = 2x - 3 qua 2 điểm.A (0; -3); B (1, -2)
b) Nghiệm tổng quát của phương trình x+y = 0 là: (x ẻ R; y = -x ) 
Tập nghiệm của phương trình x + y = c là đường thẳng y = -x qua góc O và A (1; -1).
c) Nghiệm tổng quát của phương trình.	0x + 2y = 4 là: ( x ẻ R; y = +2 )
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng y = +2 song song với trục hoanh.
d) Nghiệm tổng quát của phương trình x + 0y = -1 là: ( x = -1; 	y ẻ R )
Tập nghiệm của phương trình x + 0y = -1 là đường thẳng x = -1 song song với trục Oy.
Bài2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) Giải: 
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x = ; y = 1)
	b) 	 Giải: 	(I)
	+ Với x ³ 0 hệ (I) 
	+ Với x 	(vô nghiệm).
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x = 2; y = 1).
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) 	 b) 
c) d) 
Giải:
 a) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2; -1)
b) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( 1; -5)
c) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = 
d) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
 Bài 3:
a) Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình 
 có nghiệm là ( x; y ) = ( 1; -5)
b) Tìm các giá trị của a; b để hai đường thẳng ( d1) : 
 và (d2) : cắt nhau tại 1 điểm M ( 2; -5)
Giải:
a) Vì hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 1; -5)
ta có hpt 
 Vậy với a =1 và b =17 thì hệ phương trình có nghiệm là (x; y ) =(1; -5)
b) Để hai đường thẳng (d1) : và (d2) : cắt nhau tại điểm M ( 2; -5) ta có hệ phương trình 
Vậy với a = 10 và thì 2 đường thẳng ( d1) : và 
 (d2): cắt nhau tại điểm M ( 2; -5)
 Bài 4: Tìm a; b để đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm: 
A và B 
A và B 
Giải:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B ta có hệ phương trình 
Vậy với ; thì dường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B 
b) Để đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B ta có hệ phương trình
Vậy với ; b = 2 thì dường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B 
Bài 5: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
Bài 6: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
	a) 	b) 
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:
a/ 
vọ̃y hợ̀ có nghiợ̀m duy nhṍt (x;y) = (2;1)
b/ 
vọ̃y hợ̀ có nghiợ̀m duy nhṍt (x;y) = ()
c/ 
vọ̃y hợ̀ có nghiợ̀m duy nhṍt (x;y) = ()
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:
a) 2x - y = 3
 3x + y = 7
b) zx + 3y= -2
 5x + zy = 6
c) 
Giải:
a) zx - y = 3
 3x +y = 7
 b) 3x = 10
 zx - y = 3
 x = z
 z2 - y = 3
 x = z
 y = 1
Nghiệm của hệ phương trình là: x = 2 ; y = 1
b) zx + 3y = -2
 5x + zy = 6
 bx + 6y = -
 -15 - 6y = -8
 -11x = -22
 5x + zy = 6
 x = 2
 5. 2 + 2y = 6
 x = 2
 y = -2
Nghiệm của hệ phương trình là x = 2 ; y = -2.
c) 
Đặt x = x2
 y = 
Ta có hệ:
 y - x = -3
 -3y + 2x = 5
 2y- 2x = -6
 -3y + 2x = 5
 y = 1
 x = 4
 = 1
 x2 = 4
 y = 0
 x = ± 2
Nghiệm của hệ là: (x = 2; y = 0); ( = -2; y = 0).
Bài 7: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng.
c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt án phụ.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
	(II) Giải: Đặt x = 	ta có:
Giải: Đặt X = x2; Y = 
Nghiệm của hệ phương trình là:
Hệ (II) 
	Nghiệm của hệ phương trình là: (x = 2; y = 0); (x = -2; y = 0).
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
a) 	b) 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
Bài 4:	Giải hệ phương trình
D. Các bài tọ̃p vọ̃n dụng phương pháp thờ́, cụ̣ng đại sụ́ giải hợ̀ phương trình:
Bài 1: Giải cỏc hệ phương trỡnh:	
	1) 	2) 	3) 	4) 
Bài 2: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau bằng phương phỏp đặt ẩn phụ:
a) b) 	 c) d) 
HD: a) ĐS: 	b) 	c) (x ; y) = (5 ; 3)	d) 
Bài 3: Cho hệ phương trỡnh	
	a) Giải hệ phương trỡnh khi cho m = 1
	b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh vụ nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001). 	b) Hệ đó cho vụ nghiệm Û 
Bài 4: Cho hệ phương trỡnh: 
	a) Giải hệ phương trỡnh với m = –3
	b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ cú vụ số nghiệm	b) m ≠ 0 và m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ phương trỡnh: Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ ị đpcm
Bài 6: Cho hệ phương trỡnh: 
	a) Giải hệ phương trỡnh khi m = 1
	b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m = 0
Bài 1: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ;
 Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 7: Giải hệ phươnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
 a) b) c) 
Bài 8: Cho hệ phương trình : 
 a)Giải hệ phương trình khi 
 b)Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm :
 * (1;-2)
 * ()
 *Để hệ có vô số nghiệm 
Bài 9:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:
Bài 10: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình :
Có một nghiệm duy nhất 
Vô nghiệm
Bài 11 :Giải hệ phương trình sau:
Bài 12*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
Bài 13 :Giải hệ phương trình:
Bài 14*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :
 .Tính 
Bài 15:Cho hệ phương trình :
Giải hệ phương rình khi a=-
Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Bài 16: Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 
b) Chứng tỏ rằng m hệ luôn có nghiệm duy nhất 
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y < 0 
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất 
Bài 17: Cho hệ phương trình (1)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 (2)
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất 
c) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng(1) và (2) của hệ cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ II của hệ trục Oxy 
Bài 18: Cho hệ phương trình (1)
a) Giải hệ với m = 2 (2)
b) Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên (P): y = - 2x2 
Bài 19: Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức: 2x - y + 
Bài 20: Cho hệ phương trình
	1. Giải hệ phương trình với m = 2
	2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm x = y = -5
Bài 21: Cho hệ phương trình
Giải phương trình.
Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm.
Câu 22: Cho hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình khi m = 1 .
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . 
Tìm m để x – y = 2 .
Câu 23: Cho hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình với m = 1 
Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m .
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = 1
Câu 24 Cho hệ phương trình:
trong đó x, y là ẩn, a là số cho trớc.
1. Giải hệ phương trình đã cho với a=2010.
2. Tìm giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 25: Cho hệ phương trình: (x, y là ẩn, a là tham số)
1. Giải hệ phương trình trên.
2. Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phương trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 < 0.
Câu 26: Cho hệ phương trình:
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
2. Gọi (x0;y0) là nghiệm của phương trình, chứng minh với mọi giá trị của m luôn có: x02+y02=1
Câu 26: Cho hệ phương trình: (a là tham số)
1. Giải hệ khi a=1.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y≥ 2.
Câu 27:Cho hệ phương trình :	
	Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . 
Câu 28:Cho hệ phương trình : 
Giải hệ khi m = 3 
b)Tìm m để phương trình có nghiệm x > 1 , y > 0
E. Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh và hệ phương trỡnh 
Bài 1: Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc trung bỡnh 30km/h. Khi đến B, người đú nghỉ 20 phỳt rồi quay trở về A với vận tốc trung bỡnh 25km/h. Tớnh quóng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phỳt.
HD: Gọi độ dài quóng đường AB là x km (x > 0). 
	Ta cú phương trỡnh: . Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Hai canụ cựng khởi hành một lỳc và chạy từ bến A đến bến B. Canụ I chạy với vận tốc 20km/h, canụ II chạy với vận tốc 24km/h. Trờn đường đi, canụ II dừng lại 40 phỳt, sau đú tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tớnh chiều dài quóng sụng AB, biết rằng hai canụ đến bến B cựng 1 lỳc.
HD: Gọi chiều dài quóng sụng AB là x km (x > 0)
	Ta cú phương trỡnh: . Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 3: Một ụtụ dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bỡnh 40km/h. Lỳc đầu ụtụ đi với vận tốc đú, khi cũn 60km nữa thỡ đi được một nửa quóng đường AB, người lỏi xe tăng thờm vận tốc 10km/h trờn quóng đường cũn lại, do đú ụtụ đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tớnh quóng đường AB.
HD: Gọi độ dài quóng đường AB là x km (x > 120)
	Ta cú phương trỡnh: . Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 4: Một tàu thủy chạy trờn một khỳc sụng dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phỳt. Tớnh vận tốc của tàu thủy khi nước yờn lặng, biết rằng vận tốc của dũng nước là 4km/h.
HD: Gọi vậ ... m hỡnh chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của cỏc hỡnh vuụng đú bằng bao nhiờu, biết rằng tổng diện tớch của 4 hỡnh vuụng đú bằng diện tớch đỏy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hỡnh vuụng bị cắt ( 0 < x < 9)
	Ta cú phương trỡnh: . Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)
Bài 10: Cho một số cú hai chữ số. Tỡm số đú, biết rằng tổng hai chữ số của nú nhỏ hơn số đú 6 lần, nếu thờm 25 vào tớch của hai chữ số đú sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đó cho
HD: Gọi số phải tỡm là (0 < x, y ≤ 9 và x, y ẻ Z)
	Ta cú hệ: . Vậy số phải tỡm là 54
Bài 11: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể thỡ sau 1 giờ 20 phỳt bể đầy. Nếu mở vũi thứ nhất chảy trong 10 phỳt và vũi thứ hai trong 12 phỳt thỡ đầy bể. Hỏi nếu mỗi vũi chảy một mỡnh thỡ phải bao lõu mới đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy một mỡnh đầy bể của vũi I, II lần lượt là x, y phỳt (x, y > 80)
	Ta cú hệ: 
Bài 12: Hai người thợ cựng làm một cụng việc trong 16giờ thỡ xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thỡ họ làm được 25% cụng việc. Hỏi mỗi người làm cụng việc đú một mỡnh thỡ trong bao lõu sẽ hoàn thành cụng việc.
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mỡnh xong cụng việc (x > 0, y > 16)
	Ta cú hệ: (thỏa món điều kiện đầu bài)
Bài 13: Một phũng họp cú 360 ghế ngồi được xếp thành từng dóy và số ghế của mỗi dóy đều bằng nhau. Nếu số dóy tăng thờm 1 và số ghế của mỗi dóy cũng tăng thờm 1 thỡ trong phũng cú 400 ghế. Hỏi trong phũng họp cú bao nhiờu dóy ghế và mỗi dóy cú bao nhiờu ghế?
HD: Gọi số dóy ghế trong phũng họp là x dóy (x ẻ Z, x > 0)
	Ta cú phương trỡnh: . Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24
ĐS: 15 dóy với 24 người/dóy, 24 dóy với 15 người/dóy.
Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do ỏp dụng kĩ thuật mới nờn tổ I đó vượt mức 18% và tổ II đó vượt mức 21%. Vỡ vậy, trong thời gian qui định họ đó vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y ẻ N*)
	Ta cú hệ phương trỡnh: 
Bài 14: Một xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thờm 14km/h thỡ đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thỡ đến muộn 1 giờ. Tớnh vận tốc dự định và thời gian dự định
HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0). Ta cú hệ:
Các bài tập vận dụng tự luyện
 chuyển động
 Bài 17: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi 
 Bài 18: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h.
 Bài 19: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h 
 Bài 20: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc . Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
 Bài 21: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được quãng đường AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đường còn lại . Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
 Bài 22: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
 Bài 23:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau . Sau 1h40’ thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h. 
 Bài 24: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
 Bài 25: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B . Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB , người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đường AB
 Bài 26: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
 Bài 27: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ngược từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
 Bài 28: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB , người lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đường AB.
 Bài 29: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
 Bài 30: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
 Bài 31: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
 Bài 32: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h.
 Bài 33: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
 Bài 34: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đường còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đường .
 Bài 35: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
 Bài 36: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. 
2. Năng xuất
 Bài 37: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? 
 Bài 38: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. 
 Bài 39: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định 
 Bài 40: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. 
 Bài 41: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
 Bài 42: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
 Bài 43: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
 Bài 44: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
 Bài 45: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
 Bài 46: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3 . Sau khi bơm được thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm được 15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
 Bài 47: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
 Bài 48: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?