Toán 9 - Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp
I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc a.
II) Bài tập
Bài tập 1
 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) 
c) CA là phân giác của 
Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của éBCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : 
CEFD là tứ giác nội tiếp . b
Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 
 BE . DN = EN . BD 
Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : 
	a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . 
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . 
	c) AC song song với FG . 
	d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . 
Bài tập 5
 Cho tam giác vuông ABC (; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn.
b. CM là phân giác của góc .
c. .
Bài tập 6
Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của 
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh KLN cân.
Bài tập 7
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc ABH đồng dạng với tam giỏc EAH.
2. Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp.
3. Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R.
Bài tập 8
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Các tứ giác AEHF, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài tập 9
 Cho DABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: 
Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD.
M là tâm đờng tròn ngoại tiếp DHEF.
Bài tập 10
 Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung điểm của DE.
CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn này.
Chứng minh: HA là tia phân giác .
Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH
BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11
Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó.
Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đờng tròn
Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? 
c) Chứmg minh rằng: 
Bài tập 12
Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
Chứng minh AC. AE không đổi.
Chứng minh é ABD = é DFB.
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 13
Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn .
2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 14
 Cho DABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
 a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF	
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài tập 16
Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trờn cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE.CF
c) IK CD
Bài tập 17
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
	a) Chứng minh đều. 
b) Chứng minh MB + MC = MA.
	c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc.
	d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?
Bài tập 18
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.
Bài tập 19
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:
AE2 = AB.AC
Tứ giác AEOF
Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
ED song song với Ac.
Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài tập 20
Cho DABC có các góc đều nhọn và . Vẽ đờng cao BD và CE của DABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE.
Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Tính tỉ số 
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh OA ^ DE
Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy.
b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC (); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.
Bài tập 23
 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh:
* I là trung điểm của RS
* 
Bài tập 24
Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey 
a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?
Bài tập 25
 Cho nửa đường tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài tập 26
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O)
Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định.
Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. 
 Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định.
Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600.
Bài tập 27
	Cho DABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:
Tứ giác ABTM nội tiếp
Khi M chuyển động trên AC thì có số đo không đổi.
AB//ST.
Bài ... ác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N .
Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
Tứ giác CMIN là hình gì ? 
Bài tập 68
Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn (AB < AC). ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BC caột AB, AC theo thửự tửù taùi E vaứ F. Bieỏt BF caột CE taùi H vaứ AH caột BC taùi D.
a) Chửựng minh tửự giaực BEFC noọi tieỏp vaứ AH vuoõng goực vụựi BC.
b) Chửựng minh AE.AB = AF.AC.
c) Goùi O laứ taõm ủửụứng troứn ngoùai tieỏp tam giaực ABC vaứ K laứ trung ủieồm cuỷa BC. Tớnh tổ soỏ khi tửự giaực BHOC noọi tieỏp.
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaứ HC > HE. Tinh HC.
Bài tập 69
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM .
CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. 
Tính AH.AK theo R.
Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài tập 70
	Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD .
Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông .
Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đờng tròn 
E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E.
Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .
Bài tập 71
	Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F .
Chứng minh B , C , D thẳng hàng .
Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn .
Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất .
Bài tập 72
	 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F 
Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .
Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
Bài tập 73
Cho D ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. CMR
a/ MAOH là tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM là phân giác của góc AHB
c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF.
Bài tập 74
	Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : 
	a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . 
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . 
	c) AC song song với FG . 
	d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . 
Bài tập 75
Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O).
a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì?
c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 
	1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 
	2) Chứng minh 
	3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . 
Bài tập 77
Cho nửa đường trũn đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn. Gọi C là điểm trờn nửa đường trũn sao cho cung AC bằng cung CB. Trờn cung CB lấy điểm D khỏc C và B. Cỏc tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F.
 a, Chứng minh DABE vuụng cõn
 b, Chứng minh D ABF ~ D BDF
 c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp
 d, Chứng minh AC.AE = AD.AF
Bài tập 78
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn
Bài tập 79 
 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh : 
	a) CEFD là tứ giác nội tiếp . 
	b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 
c) BE . DN = EN . BD 
Bài tập 80
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB.
a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O).
b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp.
c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh .
Bài tập 81
Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: 
Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó.
MN// DE
Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp DCDE không đổi.
Bài tập 82
Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M ạ B ; M ạ C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 
1) Chứng minh : 
	a) MECF là tứ giác nội tiếp . 
	b) MF vuông góc với HK . 
2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . 
Bài tập 83
Cho ABC vuụng cõn tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M khụng trựng A, D). Gọi I, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB, AC. H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn đoạn DK
a/Tứ giỏc AIMK là hỡnh gỡ?
b/ A, I, M, H, K thuộc một đường trũn. Tỡm tõm đường trũn đú.
c/ B, M, H thẳng hàng.
Bài tập 84
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H
a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh rằng gócEFH = góc KBH
c/ Giả sử CH = AB. Tính số đo của góc ACB
Bài tập 85
Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a. .
b. Tứ giác AEDO nội tiếp.
c. EI // AB.
Bài tập 86
 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AC. Trờn AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt đường trũn tõm O tại D và E. Nối DC cắt đường trũn tõm O’ tại I. Chứng minh:
a/ AD // BI. 
 b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng. 
c/ MD = MI.
d/ DM2 = AM.MC. 
e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp.
Bài tập 87
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD.
a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn.
b. Chứng minh AD.CD = ED.BD.
c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và .
Bài tập 88
Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, . Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH.
a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn.
b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH.
c. Chứng minh PQ // BC
Bài tập 89
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) ở M.
a. Tính CE theo R.
b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của tam giác CDM.
Bài tập 90
Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I.
a. Chứng minh IA vuông góc với CD.
b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF
Bài tập 91
Cho đường trũn tõm O và cỏt tuyến CAB (C ở ngoài đường trũn). Từ điểm chớnh giữa của cung lớn AB kẻ đường kớnh MN cắt AB tại I, CM cắt đường trũn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F.
Chứng minh tứ giỏc MEFI là tứ giỏc nội tiếp.
Chứng minh gúc CAE bằng gúc MEB.
Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB 
Bài tập 92
Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. Chứng minh AE.AB = AF.AC
c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 93
Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chứng minh:
a. Tứ giác ADBE là hình thoi.
b. AF // BD.
c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn.
e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bài tập 94
Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P.
a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành.
b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn.
c. Chứng minh rằng: BP = BA.
Bài tập 95
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn.
b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn.
c. Tam giác PQO cân.
d. PM2 = PE.PF.
e. .