45 Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên môn Toán (Có đáp án)

TUYỂN CHỌN 45 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CÓ ĐÁP ÁN
Mục Lục
Đề số 1. Chuyên Bắc Ninh. Năm học 2014-2015
Câu I. ( 1, 5 điểm ) 
Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m .
1) Giải phương trình (1) khi m = 1
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất.
Câu II. ( 1,5 điểm )
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị .
2) Tìm a và b để đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1
Câu III .( 2,0 điểm )
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B .
2 ) Giải phương trình 
Câu IV . ( 3,0 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M .
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC .
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu V .( 2, 0 điểm )
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 .
2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.
.................Hết...............
Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 2014-2015
Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh
Câu I. ( 1, 5 điểm )
Giải:
1) GPT khi m =1
+ Thay m =1 v ào (1) ta được x2 + 2x - 8 = 0 ó ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 ó x = { - 4 ; 2 }
KL : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4 hoặc x = 2
2) xét PT (1) : (1) , với ẩn x , tham số m .
+ Xét PT (1) có (luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có :
+ Lại theo đề và (I) có :A = = ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2 = ( - 2m )2 + 2 ( 2m + 6 ) = 4m2 + 4m + 12
= ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m = 
KL : m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II. ( 1,5 điểm )
Giải : 1) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị ta có giao điểm của d và (P) là 2 điểm M ( 1 ; 1); N ( -2 ; 4 )
2) Do đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + 2
Nên ta có: a = -1.
∆ cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = 1
Thay x = -1; y = 1 vào pt ∆ ta được a = -1 ; b = 0
=>Phương trình của ∆ là y = - x
Câu III .( 2,0 điểm )
Giải:
1) Đổi 30 phút = ½ giờ
Gọi x ( km /h ) là vận tốc người đi xe đạp t ừ A -> B ( x > 0 ) .
Vận tốc người đó đi từ B-> A là: x + 4 (km/h)
Thời gian người đó đi từ A -> B là:
Thời gian người đố đi từ B về A là:
Theo bài ra ta có:
=> x = 12 ( t/m ) . KL : Vậy vận tốc của người đi xe đáp từ A đến B là 12 km/h.
2) ĐKXĐ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt 0 < a = 
+ PT mới là : a +
ó a = { -3 ; 1 } => a = 1 > 0
+ Nếu a = 1 = >
ð x = { 0 ; 1 } ( t/m)
KL : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x = 0; x = 1
Câu IV . ( 3,0 điểm )	
Giải
1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp
Do BHCD là hình bình hành nên:
Ta có: BD//CC’ => BD ^ AB => ABD = 90o
Có:AA’ ^ BC nên: MD ^ AA’ => AMD = 90o
=> ABD + AMD = 180o
=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AD.
Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường tròn đường kính AD.
=> A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn
2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD
+ Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC
3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OK//AH và OK = AH hay (*)
+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => , từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu V .( 2, 0 điểm )
Giải:
1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 1
4P = a2 - 2 ab + b2 + 3(a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b ) + 4. 2014 – 12
= (a-b)2 + 3 (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044
ðP≥ 2011
Dâu “=” xảy ra ó
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi và chỉ khi a = b = 1.
2) Gọi 6 thành phố đã cho là A,B,C,D,E,F
+ Xét thành phố A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( vì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) . Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :
· Khả năng 1 :
số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A . Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau . Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
· Khả năng 2 :
số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F . Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không liên lạc được với A )
Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
Vậy ta có ĐPCM
Đề số 2. Chuyên Bến Tre. Năm học: 2014-2015
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau: 
b) Cho biểu thức: với 
i) Rút gọn biểu thức B 
ii) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình với là tham số.
a) Giải hệ với m = 3. 
b) Giải và biện luận hệ theo m. 
c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm là số nguyên.
Câu 3: (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai: (1), với m là tham số.
i) Giải phương trình (1) khi m = 4
ii) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B).
a) Chứng minh MD là đường phân giác của góc BMC 
b) Cho AD=2R.Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R 
c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R. d) Gọi K là giao điểm của AB và MD,H là giao điểm của AD và MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.
ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Ta có:
b) 
 i) Với x > 0, x ≠ 1 ta có:
ii) Ta có:
Do x nguyên nên:
B nguyên ⇔guyên ⇔ x – 1 là ước của 2 ⇔
Vậy các giá trị của x cần tìm là 
Câu 2:
a) (1)
Với m = 3, hệ phương trình (I) trở thành:
Khi m = 3 hệ có nghiệm (1;–1)
b) Ta có:
Khi m = 2: (*) ⇔ 0x = 5 (vô nghiệm) ⇒ Hệ vô nghiệm
Khi m = –3: (*) ⇔ 0x = 0. Hệ phương trình có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y =
Khi , ta có:
Hệ (I) có nghiệm duy nhất 
Kết luận: + m = 2: (I) vô nghiệm
+ m = –3: (I) có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y =
+ m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm duy nhất 
c) Theo câu b, (I) có nghiệm ⇔ m ≠ 2.
Khi m = –3, (I) có nghiệm nguyên chẳng hạn x = 1, y = 2
Khi m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm nguyên ⇔∈ ℤ ⇔ m – 2 là ước của 1
⇔ m – 2 = 1 hoặc m – 2 = –1
⇔ m = 3 hoặc m = 1
Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈ {–3;1;3}
Câu 3:
a) (1)
i) Với m = 4, phương trình (1) trở thành
 hoặc
Vậy tập nghiệm của (1) là {1;3}
ii) Phương trình (1) có hai nghiệm 
(luôn đúng ∀ m)
Khi đó, theo định lý Vi–ét:
Ta có:
Vậy m ∈ {0;2015} là giá trị cần tìm.
Câu 4:
a) Vì B và C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90o
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD, hai cạnh góc vuông AB và AC bằng nhau (do ∆ ABC đều)
⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BAD = CAD 	(1)
Vì AMBD là tứ giác nội tiếp nên:
BMD = BAD 	(2)
Vì AMDC là tứ giác nội tiếp nên:
CMD = CAD 	(3)
Từ (1), (2) và (3) => BMD = CMD
⇒ MD là phân giác của góc BMC.
b) Ta có:
Xét ∆ ABD vuông tại B có:
Vì ABC là tam giác đều nên
Vì AB = AC, DB = DC nên AD là trung trực của BC
⇒ AD ⊥ BC.
Tứ giác ABDC có AD ⊥ BC nên
c) Vẽ OI ⊥ AB tại I. Xét tam giác vuông OIA ta có:
⇒ Diện tích tam giác AOB là (đvdt)
Ta có: (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Diện tích hình quạt AOB là (đvdt)
Suy ra diện tích hình viên phân cần tìm là (đvdt)
d) Gọi J là giao điểm của AM và BD.
Vì M , B thuộc đường tròn đường kính AD nên DM ⊥ AJ, AB ⊥ DJ
⇒ K là trực tâm của tam giác AJD
⇒ JK ⊥ AD
⇒ JK // BC (cùng ⊥ AD) 	(4)
Tứ giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là tứ giác nội tiếp
⇒ KHA = 180o – KMA = 180o – 90o = 90o
⇒ KH ⊥ AD
⇒ KH // BC (cùng ⊥ AD) 	(5)
Từ (4) và (5), theo tiên đề Ơ–clít về đường thẳng song song, ta có J, K, H thẳng hàng.
Vậy AM, BD và KH đồng quy tại J.
Đề số 3. Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội. Năm học: 2014-2015
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn và Chứng minh rằng
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
là một số chính phương
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;.;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2 phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì : 
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh..
Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014
Ngày thi 6/6/2014
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn và Chứng minh rằng
Hướng dẫn
Từ thay vào (*) ta có
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
Hướng dẫn
ĐKXĐ : 
Áp dụng Bất đẳng thức ta có đúng với mọi A,B
Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
là một số chính phương
Hướng dẫn
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
Hướng dẫn
Đặt
Thì
Áp dụng Bất đẳng thức 
( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương:
Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
Khi đó Ta có
Dấu “=” xảy ra khi
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
1. Đăt AB = a ta có AC = a Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM ( ... ết luận
0,25
3
Điều kiện: x ¹ 0, đưa phương trình trở thành: 
0,25

Đặt ẩn phụ: , phương trình trở thành:

0,25

Trường hợp: 
0,25

Trường hợp: 
0,25
4a

Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung
0,25

Ta có AEF=AHF ;AHF=ACB ; suy ra AEF= ACB
(hoặc AFE=AHE ;AHE= ABC ; suy ra AFE= ABC )
0,25

Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng
0,25

Từ tỷ số đồng dạng ta có AE.AB = AC.AF
0,25
4b
Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH.
0,25

Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM)
0,25

Suy ra DOHM =DOFM (c.c.c)
0,25

Từ đó MFO=90o , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
0,25
4c
Xét hai tam giác AHM và BHO có AHM=BHO=90o
0,25

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có

0,25

Suy ra DHBO đồng dạng với DHAM
0,25

Suy ra HAM= HBO
0,25
4d
Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn


Ta có HBO= HAM =MHK , suy ra BO // HK
0,25

Mà HK^ AM, suy ra BO^ AM, suy ra O là trực tâm của tam giác ABM
0,25
5
Giả sử a³b ³c , từ giả thiết suy ra ab ³1. Ta có bất đẳng thức sau:
 (luôn đúng).
Vậy ta cần chứng minh: 
0,25


Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì 
Hay a+b+c 33abc
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
0,25

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+ b +c = 3.Chứng minh rằng:



Ta có: 
0,25

Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25

Đề số 44. Chuyên Vũng Tàu. Năm học: 2016-2017
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức 
b) Giải hệ phương trình 
c) Giải phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 4x – m
a) Vẽ parabol (P) 
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung
Câu 3 (1,5 điểm).
a) Cho phương trình x2 – 5x + 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
b) Giải phương trình (x – 1)4 = x2 – 2x + 3
Câu 4 (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp
b) Chứng minh CF.CA = CH.CB
c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD. 
d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi
Câu 5 (0,5 điểm).
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
a) 
b) 
Hệ có nghiệm duy nhất (1;2)
c) x2 + 2x – 8 = 0. Có ∆’ = 1 + 8 = 9 > 0
Câu 2
a) Bảng giá trị
x
-2
-1
0
1
2
y = –x2
-4
-1
0
-1
-4
Đồ thị:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = 0 (1)
(d) và (P) có đúng 1 điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) = 0
ó 4 + m = 0 ⇔ m = –4
Vậy m = –4
Câu 3
a) x2 – 5x + 3m + 1 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > 0 ⇔ 21 – 12m > 0
ó m <
Với m < , ta có hệ thức (Viét)
=>
Ta có tm
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
b) 
(1) ó (2)
Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành 
ó t = 2 (tm) hoặc t = –1 (loại)
Với t = 2 có 
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 
Câu 4
a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên
Suy ra tứ giác CHDF nội tiếp
b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB
c) Vì nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH
=> IC = ID. Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI
=> OI là phân giác của góc COD
d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD đều => COD = 60o
Có 
Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có
CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = 
Mặt khác COI = DOI = vuông tại D
Suy ra
Vậy I luôn thuộc đường tròn 
Câu 5
Từ điều kiện đề bài ta có 
Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
Tương tự ta có:
Suy ra 
Đề số 45. Chuyên Sơn La. Năm học: 2016-2017
Câu I (2.0 điểm).
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để .
Câu II (1.5 điểm).
Cho phương trình: x2-5x+m=0 (1) (m là tham số).
Giải phương trình khi m = 6 .
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn: |x1-x2|=3
Câu III (2.0 điểm).
Hai ô tô cùng khởi hành một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô.
Câu IV ( 3.5 điểm).
Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F.
Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: 
Câu V ( 1.0 điểm).
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
------------------------ HẾT------------------------
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA VÀ PTDT NỘI
TRÚ TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2016-2017
------------------------------
Câu I(2đ):
Rút gọn biểu thức: 
b)Tìm các giá trị của x để 
Với x > 0, x ¹ 1 thì 
Vậy với x > 2 thì 
Câu II(1,5đ):
Với m = 6 phương trình trở thành: 
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
b) Để phương trình có 2 nghiệm ta phải có r³0
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai đã cho ta được.
Mặt khác theo yêu cầu bài toán phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 hai vế đẳng thức đều dương, bình phương hai vế ta được:
Thay (2) vào (3) ta được:
Thoả mãn (1) vậy với m = 4 là giá trị cần tìm để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3
Câu III(2đ):
Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai theo thứ tự là: và km/giờ)
Vì mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên ta có phương trình thứ nhất: v1-v2=10(1)
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quảng đường AB là: 
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quảng đường AB là: 
Vì Ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ nên ta có phương trình thứ hai:
Thay (1) vào (2) ta được:
Từ (1) => thay vào (3) ta được:
Khi v2=50=>v1=50+10=60
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 60 km/giờ; vận tốc của xe thứ hai là 50 km/giờ
Câu IV(3,5đ):
Xét tứ giác ABCD có :
 ( Đường kính của đường tròn và bán kính của đường tròn).
Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra ACBD là hình chữ nhật
Tứ giác ACBD là hình chữ nhật nên:
CAD= BCE =90o (1). Lại có CBE sđ BC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung);
ACD sđ AD (góc nội tiếp), mà BC =AD (do BC = AD cạnh của hình chữ nhật)ÞCBE =ACD (2). Từ (1) và (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE .
Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE =DFE (3). Từ (2) và (3) suy ra ACD=DFE do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: 
=>
Tương tự ta có 
Từ đó suy ra: 
Câu V(1đ):
Cách 1: Với mọi a, b ta luôn có: (a - b)2³0
(*)
Vì a, b đều dương nên ab và a+ b cũng dương bất đẳng thức (*) trở thành:
 mà a+b
Dấu “ = ” xảy ra 
Vậy min P=
Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2³ 0Þ (a + b)2³ 4ab => (*) giải tiếp ta được.
Cách 3: Với hai số a > 0, b > 0 ta có 
Dấu “ = ” xảy ra 
Vậy min P=
Cách 4: Ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương.
Chứng minh rằng:
Thật vậy áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a và b, ta được:
Do các vế của (1) và (2) trên đều dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương cùng chiều, tađược:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b.
Áp dụng (*) => P vì a+b 
 dấu "=" xẩy ra khi (1), (2) và (3) đồng thời xẩy ra dấu "=" và kết hợp với điều kiện bài ra ta có:
Khi đó: .Vậy minP = 
Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: => các bạn giải tiếp.
Cách 6: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có:
 ( Bất đẳng thức Svac – xơ)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho
Áp dụng (1) ta có:
Dấu "=" xẩy ra khi và khỉ khi hay a=b kết hợp với điều kiện bài ra ta có:Vậy minP =
------------------------ Hết------------------------
Đề số 46. Chuyên SPHN. Năm học: 2016-2017
Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho 
Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau bằng vận tốc trênquãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trênquãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?
Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng
––––––––Hết–––––––
ĐÁP ÁN
Câu 1
Với 0 < a < 1 ta có:
Câu 2
a) Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x2
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:
Với 
Với 
Vậy các giao điểm là 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): (*)
Phương trình (*) có ∆’ = m2 + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Áp dụng Viét ta có:
Khi đó ta có
Ta có 
Đặt có phương trình (vì t ≥ 0)
Suy ra
Vậy
Câu 3
Gọi vận tốc của người đi xe máy trên quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)
Vận tốc của người đi xe máy trênquãng đường AB sau là 0,5x (km/h)
Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)
Tổng thời gian của chuyến đi là
 (do x > 0)
Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)
Câu 4
a) Vì Xét ∆ CMB và ∆ AMD có
Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên
 Tương tự
Vậy
c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E
Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều
⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM
Ta có CM // DB nên PCM = PBD
Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD
Ta lại có CPM = DPM = 120o
Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.
Câu 5
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên
Suy ra 
Tương tự
Do đó (đpcm)