Bài tập Hình tổng hợp

Bài tập Hình tổng hợp
Câu IV(3,5đ): HN
	Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). 
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2.
3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4/ Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.
Câu V: (4,0đ) C tho Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đờng phân giác của góc ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Xác định tâm O của đờng tròn này.
2. Tính BE.
3. Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O). AE và BF cắt nhau tại P. Chứng minh các đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy.
4. Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE.
Bài 4: (2,75đ) hue
 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến d với đờng tròn (O) tại B. Gọi C và D là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D. Các tia AC và AD cắt (O) lần lợt tại E và F (E, F khác A). 
1. Chứng minh: CB2 = CA.CE
2. Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O’).
3. Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi. Tiếp tuyến của (O’) kẻ từ A tiếp xúc với (O’) tại T. Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờng thẳng cố định nào?
Câu V: HCM Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S = .
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S.
Baứi 4: (4,00 ủieồm) KH
Cho ủửụứng troứn (O; R). Tửứ moọt ủieồm M naốm ngoaứi (O; R) veừ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB (A, B laứ hai tieỏp ủieồm). Laỏy ủieồm C baỏt kỡ treõn cung nhoỷ AB (Ckhaực vụựi A vaứ B). Goùi D, E, F laàn lửụùt laứ hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa C treõn AB, AM, BM.
Chửựng minh AECD laứ moọt tửự giaực noọi tieỏp.
Chửựng minh: 
Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ ED, K laứ giao ủieồm cuỷa CB vaứ DF. Chửựng minh IK//AB.
Xaực ủũnh vũ trớ ủieồm C treõn cung nhoỷ AB ủeồ (AC2 + CB2) nhoỷ nhaỏt. Tớnh giaự trũ nhoỷ nhaỏt ủoự khi OM = 2R.
Bài 4: Cho đường trũn tõm O cú cỏc đường kớnh CD, IK (IK khụng trựng CD)
Chứng minh tứ giỏc CIDK là hỡnh chữ nhật
Cỏc tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường trũn tõm O thứ tự ở G; H
Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cựng thuộc một đường trũn.
Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tỡm vị trớ của G và H khi diện tớch tam giỏc DỊJ đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3 điểm) BèNH ĐỊNH
Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trờn đoạn CI (M khỏc C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.
a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tớnh tỉ số 
Baứi 4: (3,0 ủieồm) BèNH ẹềNH ẹeà chớnh thửực
	Cho tam giaực vuoõng ABC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB. Keựo daứi AC (veà phớa C) ủoaùn CD sao cho CD = AC.
Chửựng minh tam giaực ABD caõn.
ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AC taùi A caột ủửụứng troứn (O) taùi E. Keựo daứi AE (veà phớa E) ủoaùn EF sao cho EF = AE. Chửựng minh raống ba ủieồm D, B, F cuứng naốm treõn moọt ủửụứng thaỳng.
Chửựng minh raống ủửụứng troứn ủi qua ba ủieồm A, D, F tieỏp xuực vụựi ủửụứng troứn (O).
Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM
	Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC .Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H.
Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp.
Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
Cho gúc BCD bằng α . Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M .Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Bài 3. nam định ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) .Đờng tròn đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) Tại M và N. Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H nlà trung điểm của BC.
Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO.
Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh rằng: 
Góc AHN = góc BDN
Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC.
HB + HD > CD
Câu IV: (3,0đ). Nghệ An Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F.
1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R2.
2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.
3. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 5. (3,0 điểm) QUẢNG NINH
Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm).
Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.
Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm.
 Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D ). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.
Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHềNG
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A .Một đường trũn (O) đi qua B và C cắt cỏc cạnh AB , AC của tam giỏc ABC lần lượt tại D và E ( BC khụng là đường kớnh của đường trũn tõm O).Đường cao AH của tam giỏc ABC cắt DE tại K .
1.Chứng minh .
2.Chứng minh K là trung điểm của DE.
3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường trũn đường kớnh BH và đường trũn đường kớnh CH.
Bài 4: (3,5 điểm) KIấN GIANG
Cho đường trũn (O) cú đường kớnh AB = 2R. Trờn tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trờn đường trũn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuụng gúc với BC tại C cắt tia AD ở M.
Chứng minh tứ giỏc BCMD là tứ giỏc nội tiếp .
Chứng minh tam giỏc ABM là tam giỏc cõn .
Tớnh tớch AM.AD theo R .
Cung BD của (O) chia tam giỏc ABM thành hai hần. Tớnh diện tớch phần của tam giỏc ABM nằm ngoài (O) .
Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG
 Cho đường trũn (O ; R) đường kớnh AB và dõy CD vuụng gúc với nhau (CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuụng gúc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng :
 1/ Tứ giỏc CDFE nội tiếp được trong một đường trũn.
 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.
 3/ HC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BèNH Cho đường trũn (O; R) và A là một điểm nằm bờn ngoài đường trũn. Kẻ cỏc tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm).
Chứng minh ABOC là tứ giỏc nội tiếp.
Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuụng gúc với OA và OE.OA=R2.
Trờn cung nhỏ BC của đường trũn (O; R) lấy điểm K bất kỡ (K khỏc B và C). Tiếp tuyến tại K của đường trũn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại cỏc điểm P và Q. Chứng minh tam giỏc APQ cú chu vi khụng đổi khi K chuyển động trờn cung nhỏ BC.
Đường thẳng qua O, vuụng gúc với OA cắt cỏc đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại cỏc điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.
Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BèNH
	Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khỏc B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với DM, đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.
	1. Chứng minh: Cỏc tứ giỏc ABHD, BHCD nội tiếp đường trũn;
	2. Tớnh ;
	3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;
	4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh .
Cõu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC
Trờn đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB. Trờn tia Ax lấy điểm I, tia vuụng gúc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường trũn đường kớnh IC cắt IK tại P ( P khỏc I)
a, Chứng minh tứ giỏc CPKB nội tiếp một đường trũn, chỉ rừ đường trũn này.
b, Chứng minh .
c, Giả sử A, B, I cố định. Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho diện tớch tứ giỏc ABKI lớn nhất.
Bài 4 (3,5 điểm) THANH HểA
Cho nửa đương trũn tõm O đường kớnh AB = 2R. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm G (khỏc với điểm B) . Từ cỏc điểm G; A; B kẻ cỏc tiếp tuyến với đường trũn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.
1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường trũn (O). Chứng minh tứ giỏc BDNO nội tiếp được.
2. Chứng minh tam giỏc BGD đồng dạng với tam giỏc AGC, từ đú suy ra .
3. Đặt Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AC và BD theo R và a. Chứng tỏ rằng tớch AC.BD chỉ phụ thuộc R, khụng phụ thuộc a.
Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường trũn (O), đường kớnh AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I. Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN sao cho C khụng trựng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong một đường trũn.
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất.
Cõu 4 : PHÚ YấN ( 2,5 điểm ) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trờn đường trũn đường kớnh AB = 2R . Hạ BN và DM cựng vuụng gúc với đường chộo AC 
Chứng minh tứ giỏc : CBMD nội tiếp được 
Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
Xỏc định vị trớ của điểm D để diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch lớn nhất và tớnh diện tớch trong trường hợp này 
Bài 4: (3,0 điểm) hƯng yên
	Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R. Gọi B là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E. Gọi M là giao điểm của OE và CD. Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB). Chứng minh rằng:
	a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn.
	b) OM.OE = R2
	c) H là trung điểm của OA.
Bài 5 (
 Cho tam giỏc ABC cú gúc A bằng 600, cỏc gúc B, C nhọn. vẽ cỏc đường cao BD và CE của tam giỏc ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giỏc ADHE nội tiếp.
b/ Chứng minh tam giỏc AED đồng dạng với tam giỏc ACB. 
c/ Tớnh tỉ số .
d/ Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Chứng minh OA vuụng gúc với DE.
Cõu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Cho điểm A nằm ngoài đường trũn tõm O bỏn kớnh R. Từ A kẻ đường thẳng (d) khụng đi qua tõm O, cắt đường trũn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Cỏc tiếp tuyến với đường trũn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuụng gúc v ... nên tam giác BFC vuông tại F. (1).
éFBC = éFAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên éCAD = 450 hay éFAC = 450 (2).
Từ (1) và (2) suy ra DFBC là tam giác vuông cân tại F.
3. Theo trên éBFC = 900 => éCFM = 900 ( vì là hai góc kề bù); éCDM = 900 (t/c hình vuông).
=> éCFM + éCDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đường tròn suy ra éCDF = éCMF , mà éCDF = 450 (vì AEDC là hình vuông) => éCMF = 450 hay éCMB = 450. 
Ta cũng có éCEB = 450 (vì AEDC là hình vuông); éBKC = 450 (vì ABHK là hình vuông).
 Như vậy K, E, M cùng nhìn BC dưới một góc bằng 450 nên cùng nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên BC => 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đường tròn.
4. DCBM có éB = 450 ; éM = 450 => éBCM =450 hay MC ^ BC tại C => MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có éB = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E.
Chứng minh AE = EB.
Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Lời giải: 
1. éAEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
=> éAEB = 900 ( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết éABE = 450 
=> DAEB là tam giác vuông cân tại E => EA = EB.
2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam giác HBE => IK // BE mà éAEC = 900 nên BE ^ HE tại E => IK ^ HE tại K (2).
Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE . Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
3. theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH mà I là trung điểm của BH => IE = IB.
 é ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => éBDH = 900 (kề bù éADC) => tam giác BDH vuông tại D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID.
Ta có DODC cân tại O (vì OD và OC là bán kính ) => éD1 = éC1. (3)
 DIBD cân tại I (vì ID và IB là bán kính ) => éD2 = éB1 . (4)
Theo trên ta có CD và AE là hai đường cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC => BH cũng là đường cao của tam giác ABC => BH ^ AC tại F => DAEB có éAFB = 900 .
Theo trên DADC có éADC = 900 => éB1 = éC1 ( cùng phụ éBAC) (5).
Từ (3), (4), (5) =>éD1 = éD2 mà éD2 +éIDH =éBDC = 900=> éD1 +éIDH = 900 = éIDO => OD ^ ID tại D => OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .
3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 4. Chứng minh PQ ^ MI.
Lời giải: 
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => DABC cân tại A.
2. Theo giả thiết MI ^ BC => éMIB = 900; MK ^ AB => éMKB = 900.
=> éMIB + éMKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp 
* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK )
3. Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => éKMI + éKBI = 1800; tứ giác CHMI nội tiếp => éHMI + éHCI = 1800. mà éKBI = éHCI ( vì tam giác ABC cân tại A) => éKMI = éHMI (1).
Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => éB1 = éI1 ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => éH1 = éC1 ( nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà éB1 = éC1 ( = 1/2 sđ ) => éI1 = éH1 (2).
Từ (1) và (2) => DMKI DMIH => => MI2 = MH.MK
4. Theo trên ta có éI1 = éC1; cũng chứng minh tương tự ta có éI2 = éB2 mà éC1 + éB2 + éBMC = 1800 => éI1 + éI2 + éBMC = 1800 hay éPIQ + éPMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => éQ1 = éI1 mà éI1 = éC1 => éQ1 = éC1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ^BC nên suy ra IM ^ PQ.
 Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD ^ AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh :
1. 2. AM là tia phân giác của éCMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp 
4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Lời giải: 1. Theo giả thiết M là trung điểm của => 
=> éCAM = éBAM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia phân giác của góc CAB => ( t/c tia phân giác của tam giác )
2. (HD) Theo giả thiết CD ^ AB => A là trung điểm của => éCMA = éDMA => MA là tia phân giác của góc CMD.
3. (HD) Theo giả thiết M là trung điểm của => OM ^ BC tại I => éOIC = 900 ; CD ^ AB tại H => éOHC = 900 => éOIC + éOHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp
4. Kẻ MJ ^ AC ta có MJ // BC ( vì cùng vuông góc với AC). Theo trên OM ^ BC => OM ^ MJ tại J suy ra MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Bài 27 Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH ^ BC, MK ^ CA, MI ^ AB. Chứng minh : 
Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. éBAO = é BCO. 3. DMIH ~ DMHK. 4. MI.MK = MH2.
Lời giải: 
(HS tự giải)
Tứ giác ABOC nội tiếp => éBAO = é BCO (nội tiếp cùng chắn cung BO).
Theo giả thiết MH ^ BC => éMHC = 900; MK ^ CA => éMKC = 900
=> éMHC + éMKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => éHCM = éHKM (nội tiếp cùng chắn cung HM). 
Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => éMHI = éMBI (nội tiếp cùng chắn cung IM). 
Mà éHCM = éMBI ( = 1/2 sđ ) => éHKM = éMHI (1). Chứng minh tương tự ta cũng có 
éKHM = éHIM (2). Từ (1) và (2) => D HIM ~ D KHM.
Theo trên D HIM ~ D KHM => => MI.MK = MH2
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
E, F nằm trên đường tròn (O).
Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải: 
1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .
2. (HD) Tứ giác AB’HC’ nội tiếp => éBAC + éB’HC’ = 1800 mà éBHC = éB’HC’ (đối đỉnh) => éBAC + éBHC = 1800. Theo trên BHCF là hình bình hành => éBHC = éBFC => éBFC + éBAC = 1800 
=> Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O).
* H và E đối xứng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => éBHC = éBEC => é BEC + éBAC = 1800 => ABEC nội tiếp => E thuộc (O) .
3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC ^ HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF => EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông tại E hay FE ^ HE (2)
Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3)
Theo trên E ẻ(O) => éCBE = éCAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4).
Theo trên F ẻ(O) và éFEA =900 => AF là đường kính của (O) => éACF = 900 => éBCF = éCAE ( vì cùng phụ éACB) (5).
Từ (4) và (5) => éBCF = éCBE (6).
Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân.
4. Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI ^ BC ( Quan hệ đường kính và dây cung) => éOIG = éHAG (vì so le trong); lại có éOGI = é HGA (đối đỉnh) => DOGI ~ DHGA => mà OI = AH => mà AI là trung tuyến của tam giác ABC (do I là trung điểm của BC) => G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 29 BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’.
Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: (HD)
1. Tứ giác BFEC nội tiếp => éAEF = éACB (cùng bù éBFE)
 éAEF = éABC (cùng bù éCEF) => D AEF ~ D ABC.
2. Vẽ đường kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cùng vuông góc AC) => BHKC là hình bình hành => A’ là trung điểm của HK => OK là đường trung bình của DAHK => AH = 2OA’
3. áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có :
D AEF ~ D ABC => (1) trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC; R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp D AEF; AA’ là trung tuyến của DABC; AA1 là trung tuyến của DAEF.
Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn ngoại tiếp DAEF 
Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 
Vậy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 
4. Gọi B’, C’lần lượt là trung điểm của AC, AB, ta có OB’^AC ; OC’^AB (bán kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB.
 	 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )
2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)
Theo (2) => OA’ = R . mà là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng dạng AEF và ABC nên = . Tương tự ta có : OB’ = R .; OC’ = R . Thay vào (3) ta được 
2SABC = R () ú 2SABC = R(EF + FD + DE) 
* R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi SABC.
 Ta có SABC = AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD lớn nhất khi A là điểm chính giỡa của cung lớn BC.
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA.
Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
Giả sử éB > éC. Chứng minh éOAH = éB - éC.
Cho éBAC = 600 và éOAH = 200. Tính:
éB và éC của tam giác ABC.
b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R
Lời giải: (HD)
1. AM là phân giác của éBAC => éBAM = éCAM => => M là trung điểm của cung BC => OM ^ BC; Theo giả thiết AH ^ BC => OM // AH => éHAM = éOMA ( so le). Mà éOMA = éOAM ( vì tam giác OAM cân tại O do có OM = OA = R) => éHAM = OAM => AM là tia phân giác của góc OAH.
2. Vẽ dây BD ^ OA => => éABD = éACB.
 Ta có éOAH = é DBC ( góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) => éOAH = éABC - éABD => éOAH = éABC - éACB hay éOAH = éB - éC.
3. a) Theo giả thiết éBAC = 600 => éB + éC = 1200 ; theo trên éB éC = éOAH => éB - éC = 200 .
=> 
b) Svp = SqBOC - SBOC = =