Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán 9

Đề 96
Bài 1: (4,0 điểm).
 Cho biểu thức: A = 
 a.Rút gọn biểu thức A.
 b.Tính giá trị biểu thức A khi .
Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:
 	 b) Giải phương trình: + = x2 - 10x + 27
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức: E = .
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A và B ). Tia CM cắt tia DA tại N. Vẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE.
	1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD.
3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.
Bài 5: (2,0 điểm).
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF
Đề 97
Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P = 
	a) Rút gọn P;
	b) Tìm giá trị của a để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình 
b) Giải phương trình: .
Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho a, b, c>0 chứng minh rằng: 
 b) Cho a, b, c dương và a + b = c = 1. Chứng minh 
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB
(I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
Bài 5: (3,0 điểm). Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại M gọi N là trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt AC tại K .Chứng minh : 
Đề 98
Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P = 
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P = 
Bài 2: (4,0 điểm).a) Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
x3y + xy3- 3x-3y = 17
Bài 3: (4,0 điểm).
 a) Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+8) = 28x2 
b) Cho hệ phương trình: (a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F . 
	a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn. 
b) Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r. 
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài 5: (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M; từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại N sao cho BM = DN. Gọi giao điểm của DN và BM là I. Chứng minh: Tia IA là tia phân giác của góc BID.
Đề 99
Bài 1: (5,0 điểm). Cho biểu thức:P = 
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu 
Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (2,0 điểm). Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và 
 = 
Bài 4: (4,0 điểm). 
a) Cho a, b, c Î [0 ; 1]. Chứng minh rằng : 
	 b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ³ 3
Bài 5: (5,0 điểm). 
Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi I, K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC. 
Chứng minh rằng :
a) MI = MK
b) Bốn điểm I, H, M, K thuộc cùng đường tròn
Đề 100
Bài 1: (5,0 điểm). Cho biểu thức:P = 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
Bài 2: (4,0 điểm). 	
	a) Giải hệ phương trình sau:
	b) Giải phương trình: x = 2005-2006 (2005-2006 x2)2
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 
b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0
	 Tính P = (2008+ )(2008 + ) ( 2008 + ) 
Bài 4: (5,0 điểm). Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC, N là trung điểm EF .
a.Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên 1 đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB .
c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi.
Bài 5: (2,0 điểm). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB1, AA1	
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng.
Đề 101
Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức P = 
	a) Rút gọn P
	b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P - )
Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình
 b) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 -9) = 27
Bài 3: (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
A = với x > 0; y > 0; z > 0 và 
Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3
	 	 b1 ≤ b2 ≤ b3
Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
Áp dụng chứng minh rằng : với thì 
Bài 5: (6,0 điểm). 
 	1. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (). là ba đường cao . Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng 
2. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD). Hãy xác định điểm E thuộc cạnh bên BC sao cho đoạn thẳng AE chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau
Đề 102
Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:P = 
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P0
Bài 2: (4,0 điểm). 
a) Giải hệ phương trình : x + y = 1
	 x5 + y5 = 11 
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.
b) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .	
Bài 4: (6,0 điểm). 
1. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên đường chéo AC lấy điểm E và F sao cho 
EBF = 450. Đường thẳng BE, BF cắt AD và CD lần lượt tại M và N. MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. 
	a.Chứng minh AB = BI.
b.Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
2. Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AB xác định điểm N trên cạnh DC sao cho MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau
Bài 5: (2,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Đề 103
Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:P = 
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
Bài 2: (5,0 điểm). 
a) Giải phương trình: = 
b) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 
	x y z và 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx
b) Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c 
 Chứng minh rằng :
 + + 2 ( + + )
Bài 4. (5,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
b) Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
c) Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC.
Bài 5: (2,0 điểm). 
 Ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho 
 Chứng minh rằng : Tam giác MCD đều 
Đề 104
Bài 1: (4,0 điểm). 
Cho biểu thức:
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; 
c/ Tìm các giá trị của x để 
Bài 2: (5,0 điểm). 
 a) Giải hệ phương trình: 
 b) Giải phương trình: 
Bài 3: (4,0 điểm). 
	a.	Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn
	Chứng minh rằng <
	b.	Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết
	Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều
Bài 4: (2,0 điểm). 
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820.
b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 5: (5,0 điểm). 
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O). Từ C kẻ CH vuông góc với AB . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC và CB. 
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy.
Đề 105
Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức : P = 
a) Rút gọn P 
b) Tính giá trị của P biết x = 
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P
Bài 2: (5,0 điểm). 
a) Giải hệ: 
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Cho a , b, c, d > 0 . Chứng minh rằng :
1 < + + + < 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Bài 4: (5,0 điểm). 
Cho ABC có 3 góc nhọn. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính là AB và AC. Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M và N (khác A)
a) Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định 
b) Giả sử ABC cân tại A. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BCNM lớn nhất
Bài 5: (2,0 điểm). 
	Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 
Đề 106
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức :P=
a) Tìm giá trị của x để P xác định 
b) Rút gọn P
c) Tìm x sao cho P>1
Bài 2: (5 điểm) 
Giải hệ phương trình:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (3 điểm) 
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4: (2 điểm) 
	Cho 4 số x, y, z, t. Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88 = 0
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2
Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Đề 107
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 	
b) Giải phương trình (1)
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho là số nguyên dương.
b) Cho x, y , z là các số dương thoả mãn xyz x + y + z + 2 tìm giá trị lớn nhất của x + y + z
Bài 4: (2 điểm)Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
Bài 5: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng 
b) Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
c) Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lượt chạy trên hai đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Đề 108
Bài 1: (4 điểm)Cho biểu thức: A = 
a. Rút gọn biểu thức.
b. Cho Tìm Max A.	
Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn và 
	Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006.
Áp dụng giải phương trình sau: .
Bài 3: (2 điểm)Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2
	Tìm GTNN của P = 
Bài 4: (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên 
 x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)
 b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 
(m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 5: (5 điểm)
 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. H là điểm thuộc đoạn OB sao cho 
HB = 2HO. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi E là điểm di động trên cung nhỏ CB sao cho E không trùng với C và B. Nối A với E cắt CD tại I.
a/ Chứng minh rằng AD2 = AI.AE
b/ Tính AI.AE – HA.HB theo R
c/ Xác định vị trí điểm E để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp DIE ngắn nhất.
Đề 109
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A = với 
a) Rút gọn biểu thức A.	
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình: 
	b) Giải phương trình: x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0
Bài 3: (2 điểm)Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: 
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.
b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 
Bài 5: (6 điểm) 
1. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. 
	a) Chứng minh E là trung điểm của AH.	
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO. 
2. Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900) và DC = 2 AB. Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh rằng BM MD
Đề 110
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = 
a) Rút gọn A
b) CM: A ³ 0
Bài 2: (5 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:
.
b) Giải phương trình sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 3: (2 điểm) Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c 3. 
Chứng minh rằng: 
Bài 4: (3 điểm) 
a) Giả sử a, b, c là những số thực thỏa mãn a, b, c ¹ o và . 
Chứng minh rằng: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
A = với x > 0; y > 0; z > 0 và 
Bài 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ) . Điểm M thuộc cung nhỏ BC. gọi I,K,H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB; HK.
 a) Chứng minh MQ ^ PQ. 
 b) Chứng minh : 
 c) Cho tam giác ABC đều. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất 
Đề 111
Bài 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc: 
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó cho biÓu thøc M cã nghÜa.
Chøng minh r»ng biÓu thøc M kh«ng phô thuéc vµo a.
Bài 2: (5 điểm) a) Giải phương trình : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 3: (4 điểm) 
Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : . Xét biểu thức :P= x+y2+z3.
a.Chứng minh rằng: Px+2y+3z-3?
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của P?.
Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường. Trên tia Bx lấy 2 điểm C, D (C: nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F; hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
a) MN // Bx.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được.
Bài 5: (2 điểm) 
Cho tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 6; 8 và 10. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
Đề 112
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
a) Rút gon biểu thức B.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 5.
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình:
 b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
 x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0 
Bài 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa món: .
Tìn giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 4: (3 điểm) 
Bài 6: (5 điểm) 
	Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N.
	a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
	b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN
	c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ?
Đề 113
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện xác định của M và rút gọn biểu thức M.
	b) Tìm giá trị của M với .
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phuơng trình: 
b) Tìm (x;y) thoả mãn 
Bài 3: (2 điểm) Cho a, b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 4: (4 điểm) a) Cho các số không âm thỏa mãn: x + y + z 3
 Tìm giá trị lớn nhất của 
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 
 x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)
Bài 5: (5 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN2.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.