Bài tập Toán Lớp 9 - Dạng toán phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-ét

DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
Câu 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
 a) Giải phương trình trên khi m = 6.
 b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Đáp án:
 a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
 ∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
 b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m
 Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
Mặt khác theo bài ra thì (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4) 
Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn.
Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
 a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
Đáp án:
 a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 
Phương trình (1) có nghiệm (*). 
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. 
Suy ra: ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 = 2 
x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0 
m2 + m – 2 = 0 . 
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Đáp án:
 a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, "m Î R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1.
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = ± 1.
Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
 a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
Đáp án:
 a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m. 
Để phương trình có nghiệm thì ∆0 - 3 – 4m0 4m (1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được: 
(1 + m)(1 + m – 2) = 3m2 = 4 m = ± 2. 
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Câu 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1-x2 = 4
Đáp án:
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9
Theo hệ thứcViét ta có 
Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4	 (3)
Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.	
Câu 6: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
	 a) Giải phương trình với m = 5
	 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.
Đáp án:
 a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 = ; x2 = 
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*)
Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 
 m2 - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*))
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.
Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. 
 a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
 b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
Đáp án:
a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0.
b) Phương trình có 2 nghiệm khi:
∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng m.
Ta có x1.x2 = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 .
Với m = ta có phương trình: x2 - 3x + x2 - 6x + 5 = 0
Khi đó x1 + x2 = 
Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Đáp án:
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 
m2 - m + 4 > 0 đúng 
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
Theo hệ thức Vi ét ta có: 
Ta có = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 
4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10
 4m2 - 6m + 10 = 10
c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Câu 9: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
Tìm m để - x1x2 = 7
Đáp án:
 a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 < 0
 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Do đó: 
	 (2m)2 - 3 . ( -1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1.
Câu 10: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
Đáp án: 
a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = 
b) Ta có ∆ = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m 
= 1 - 16m.
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0 
Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m. 
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6 
 m2 + 5m - 6 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6.
Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - 6 là giá trị cần tìm.
Câu 11: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)
Đáp án: 
a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0 
Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3
b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: 
3 - m 0 m 3 (1)
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : 
= 5 (x1+ x2) (x+ x)2- 2x1x2 = 5 (x1 + x2)
42 - 2 (m +1) = 5.42 (m + 1) = - 4 m = - 3
 Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3
Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0	(1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Đáp án:
x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0	(1)
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0
a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5
b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 
 m = - 20
c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 
= m2 + 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: 
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:
	x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).
Đáp án: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0
 x (x2 - 2mx + m2) + x - m = 0
 x (x - m)2 + (x - m) = 0
 (x - m) (x2 - mx + 1) = 0 
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m. 
Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
∆ = m2 - 4 > 0 .
Vậy các giá trị m cần tìm là: 
Câu 14: Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
 .
Đáp án:
a) Với , ta có phương trình: . Các hệ số của phương trình thoả mãn nên phương trình có các nghiệm: , .
b) Phương trình có biệt thức nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi .
Theo định lý Viet, ta có: .
Điều kiện đề bài . Từ đó ta có: .
Phương trình này có tổng các hệ số nên phương trình này có các nghiệm . 
Vậy các giá trị cần tìm của là .
Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 
 biết p + q = 198.
Đáp án: 
Phương trình có nghiệm khi 0ó p2 + 4q 0; gọi x1, x2 là 2 nghiệm.
- Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q 
mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198
ó (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z )
Nên ta có :
x1 - 1
1
-1
199
-199
x2 - 1
199
-199
1
-1
x1
2
0
200
-198
x2 
200
-198
2
0
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên:
 (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0)
Câu 16: Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
Đáp: 
 a) Khi phương trình trở thành 
 ; .
 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 .
Khi đó theo định lí Vi-et ta có: (1) và (2).
Điều kiện bài toán 
 (do (1)) (3).
Từ (1) và (3) ta có: . Thay vào (3) ta được: , thoả mãn điều kiện. 
Vậy .
Câu 17: Cho phương trình với là tham số.
 	a) Giải phương trình khi và .
 	b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
Đáp án:
Khi và ta có phương trình: . 
Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm .
 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1).
Bài toán yêu cầu (2).
Từ hệ (2) ta có: , kết hợp với (1) được . 
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
 a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
 	b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ).
Đáp án:
 a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆0 
1 – 4m0 (1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m
Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được: 
(m – 1)2 = 9 m2 – 2m – 8 = 0. 
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. 
Câu 19: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
 	a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 	b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Đáp án: 
 a) Ta có = m2 + 1 > 0, "m Î R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
 b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7
(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = .
Câu 20: Cho phương trình (1) với là tham số.
 	a) Giải phương trình khi .
 	b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = .
Đáp án:
 a) Với phương trình trở thành . 
 nên phương trình có hai nghiệm , .
 b) Phương trình có biệt thức với mọi . 
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm . Khi đó theo định lý Viet thì . 
Biểu thức A = = == = .
Do nên , suy ra A ³ . 
Dấu bằng xảy ra . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , đạt được khi .
Câu 21: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 	(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
Đáp án: 
a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0
Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0
Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: .
Câu 22: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là tham số. 
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: Đặt = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0	(1)
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt ó (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0.
+) (1) Có 2 nghiệm khác dấu m + 1 m < -1
+) = 0 m2 - 3m = 0 
Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại. 
Vậy m < - 1 hoặc m = 0.
Câu 23: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0	(1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án:
 a) Với m = 2, ta có phương trình
(x2 - x - 2)(x - 1) = 0	 
Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2
b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1
.
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
m = - ; m = 0.
Câu 24: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0	(1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: 
a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t , với ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 t1 = 1; t2 = 4
Từ đó, ta được: .
Vậy phương trình có 4 nghiệm 
b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) 
(với y = x2 ; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt óphương trình (2):
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 .
2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu .
Vậy m = hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
Câu 25: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
= 1.
Đáp án:
 a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0
Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3
b) Phương trình có nghiệm > 0 1 - m > 0 m < 1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1)
 (2)
Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 m2 + 2m - 4 = 0
 = 1 + 4 = 5 => = nên m = -1 + (loại); 
 m = - 1 - (T/m vì m < 1).
Vậy giá trị m cần tìm là: 
Câu 26: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
 a) Giải phương trình (1) khi m = 2
 b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Đáp án:
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0
= 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.
Phương trình (1) có nghiệm m2 + 6m 
 (2)
Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3) 
Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 
 (4) 
Từ (3), (4), ta có: (TMĐK (2))
Vậy các giá trị m cần tìm là .
Câu 27: Cho phương trình: (1)
 a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
 b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và .
Đáp án :
a) Do nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Vì là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có:
 , . 
Do đó: . 
và P =.
Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: .
Câu 28: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) 
a) Giải phương trình (1) với m = 3.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
Đáp án:
a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
 4x2 - 4x + 1 = 0
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2
b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì 
Mà theo ĐL Vi-ét ta có: 
Từ ta có: 
 thoả mãn (*)
Vậy m phải tìm là -2.
Câu 29:Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Đáp án:
a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
	ÛÛ
Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.
b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: Û
Û Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.