Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương 3

 Chương
 3 GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
 Bài 1. GĨC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. GĨC Ở TÂM
 ▪ Gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi là gĩc ở tâm.
 ▪ Cung nằm bên trong gĩc gọi là cung bị chắn.
 ▪ A· OB là gĩc ở tâm, A¼mB là cung bị chắn bởi A· OB .
2. SỐ ĐO CUNG
 ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
 sđA¼mB = sđA· OB .
 ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ 
 chung hai mút với cung lớn). 
 sđA¼nB = 360° - sđA¼mB
 ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° .
3. SỐ ĐO CUNG
 ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ: sđA¼mB = sđA· OB
 ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai mút với cung lớn).
 ▪ sđA¼nB = 360° - sđA¼mB
 ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° .
4. SO SÁNH HAI CUNG
Ta chỉ so sánh hai cung trong mơt đường trịn hay trong hai đường trong bằng nhau. Khi đĩ:
 ▪ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ số đo bằng nhau.
 sđA»B = sđC»D Þ A»B = C»D
 ▪ Trong hai cung, cung cĩ số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 
 sđA»B > sđC»D Þ A»B > C»D
5. KHI NÀO THÌ sđA»B + sđA¼C = sđC»B
 ▪ Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđA»B = sđA¼C + sđC»B
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm số đo gĩc ở tâm – Số đo cung bị chắn
Để tính số đĩ của gĩc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:
 ▪ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
 ▪ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai đầu mút với 
 cung lớn). ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng. Cung cả đường trịn cĩ số đo.
 ▪ Sử dụng tỉ số lượng giác của gĩc nhọn để tính gĩc.
 ▪ Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
Ví dụ 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một gĩc ở tâm cĩ số đo là bao nhiêu độ vào những 
thời điểm sau
a) 3 giờ. b) 5 giờ. c) 6 giờ. d) 22 giờ.
Lời giải
Ta sẽ xem mặt đồng hồ như hình trịn nên cung cả đường trịn cĩ số đo là 360° .
a) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 3 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 3 = 90° .
b) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 5 = 150° .
c) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 6 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 6 = 180° .
d) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 22 giờ hay 10 giờ đêm thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 
360° ¸ 12´ 10 = 300° .
Ví dụ 2. Một đồng hồ chạy chậm 20 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một gĩc ở 
tâm là bao nhiều độ? ĐS: 10° .
Lời giải
 1
Đổi: 20 phút = giờ.
 3
 1
Để chỉnh lại cho đúng giờ ta cần quay một gĩc ở tâm bằng 30° ´ = 10° .
 3
Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC . Gọi O là tâm đường trịn đi qua ba đỉnh A,B,C . Tính số đo gĩc ở tâm 
A· OB . ĐS: 120° .
Lời giải
Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực trong DABC đều.
Ta cĩ: O· AB = O· AC = B· AC ¸ 2 = 30° và
 O· BA = O· BC = C· BA ¸ 2 = 30° .
Xét DABC cân tại O , ta thấy
 A· OB = 180° - (O· AB + O· BA) = 180° - (30° + 30° ) = 120° .
Vậy số đo gĩc ở tâm A· OB là 120° .
Ví dụ 4. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O;R) cắt nhau tại điểm M . Cho biết OM = 2R . 
Tính số đo
a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: A· OB = 120° . b) Mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° .
Lời giải.
 OA R 1
a) Ta cĩ: cosA· OM = = = Þ A· OM = 60° .
 OM 2R 2
Vậy A· OB = A· OM ×2 = 120° .
b) Vì A· OB = 120° nên sđ A»B nhỏ là 120° và sđ A»B lớn là 
360° - 120° = 240° .
Ví dụ 5. Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy ba điểm A,B,C sao cho A· OB = 130° , sđA¼C = 60° . Tính 
số đo mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ) trong các trường hợp
a) C nằm trên cung nhỏ AB ; ĐS: 290° .
b) C nằm trên cung lớn AB . ĐS: 170°,190° .
Lời giải.
a) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° .
Mà A· OB = A· OC + B· OC (vì C nằm trên cung nhỏ AB ) do đĩ 
B· OC = A· OB - A· OC .
Þ B· OC = 130° - 60° = 70° .
Vậy cung nhỏ BC là 70° và cung lớn BC là 360° - 70° = 290° .
b) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° .
Mà B· OC = A· OC + B· OA (vì C nằm trên cung lớn AB ) 
do đĩ B· OC = 60° + 130° = 190° .
Vậy cung nhỏ BC là 360° - 190° = 170° , cung lớn BC là 190° .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 90° . Tính số đo mỗi cung AB .
 ĐS: 270° .
Lời giải
Vì A· OB = 90° nên số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung lớn 
AB là 360° - 90° = 270° . Bài 2. Cho đường trịn (O;R) cĩ dây AB = R . Tính số đo
a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: 60° .
b) Cung lớn AB . ĐS: 300° .
Lời giải
a) Vì AB = R nên DOAB đều hay 
A· OB = O· AB = A· BO = 60° .
b) Do A· OB = 60° nên số đo cung lớn AB là 
360° - 60° = 300° .
Bài 3. Cho đường trịn (O;R) cĩ đường kính AB . Gọi C là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây CD cĩ 
độ dài bằng R . Tính số đo của gĩc ở tâm BOD trong các trường hợp
a) D nằm trên cung CB ; ĐS: 30° .
b) D nằm trên cung CA . ĐS: 150° .
Lời giải.
a) Vì AB là đường kính của (O;R) và C nằm chính giữa cung AB nên 
A· OC = B· OC = A· OB ¸ 2 = 90° .
Mặt khác, vì OC = OD = CR = R nên DOCD là tam giác đều hay 
C· OD = 60° .
Ta cĩ B· OC = C· OD + B· OD Þ B· OD = B· OC - C· OD = 30° .
b) Trường hợp D¢ nằm trên cung CA ta thực hiện tương tự như câu a) .
Ta cĩ B· OD¢= B· OC + C·OD¢= 150° .
Bài 4. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B phân biệt. Kẻ các đường kính AOC và BOD . 
Chứng minh A· D = B· C .
Lời giải
Vì AC,BD cắt nhau tại O nên A· OD = B· OC ( hai gĩc đối đỉnh).
Mà sđA¼D = A· OD và sđB¼C = B· OC do đĩ sđA¼D = sđB¼C . Vậy A¼D = B¼C (đpcm).
Bài 5. Trên một đường trịn, cĩ cung AB bằng 150° , cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB 
nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo mỗi cung CD . ĐS: 90°,270° .
Lời giải
Vì sđA»B = 150° nên A· OB = 150° .
Mà B,A lần lượt là điểm chính giữa trên cung AD và CB nên 
B· OD = C· OA = A· OB = 150° .
Số đo cung lớn AB là 360° - 150° = 210° .
Ta cĩ
A· OB = A· OD + B· OD Þ A· OD = A· OB - B· OD = 60° .
Và A· OC = A· OD + D· OC Þ D· OC = A· OC - A· OD = 90° .
Vậy số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung lớn AB là 360° - 90° = 270° .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. 
a) Từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng nhiêu độ? ĐS: 900° .
b) Cũng hỏi như thế từ 7 giờ đến 9 giờ? ĐS: 60° .
Lời giải
a) Khi kim đồng hồ đến mốc 2 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 60° , nếu đến mốc 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số 
đo là 150° . Do đĩ, từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 150° - 60° = 90° .
b) Khi kim đồng hồ đến mốc 7 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 210° , nếu đến mốc 9 giờ thì gĩc ở tâm cĩ 
số đo là 270° . Do đĩ, từ 7 giờ đến 9 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 270° - 210° = 60° .
Bài 7. Chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ. Hỏi để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam 
theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm là bao nhiêu độ? ĐS: 60° .
Lời giải
Vì chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ nên để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam theo 
đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm bằng 60° ´ 2 = 120° .
Bài 8. Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O , trong các gĩc 
tạo thành cĩ gĩc 80° . Vẽ một đường trịn tâm O . Tính số đo của các 
gĩc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O . ĐS: 80°;100° .
Lời giải
Theo đề bài ta cĩ, x·Oz = 80° . Vì x·Oz,z·Oy là hai gĩc kề bù nên x·Oz + z·Oy = x·Oy .
Ta được 80° + z·Oy = 180° Þ z·Oy = 180° - 80° Þ z·Oy = 100° 
Bài 9. Hai tiếp tuyến của đường trịn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A . Cho biết B· AC = 60° . Tính 
số đo
a) Gĩc ở tâm B· OC ; ĐS: B· OC = 120° .
b) Mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° .
Lời giải
a) Ta cĩ: B· AC + A· CO + A· BO + B· OC = 360° 
(Tổng các gĩc trong một tứ giác)
Do đĩ B· OC = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO)
 = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO) 
(Vì A· CO = A· BO = 90° )
 = 360° - (60° + 90° ×2) = 120° .
Vì B· OC = 120° nên sđB¼C nhỏ là 120° và sđB¼C lớn là 360° - 120° = 240° .
Bài 10. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 120° . Gọi C là điểm chính giữa 
cung nhỏ AB . Tính số đo cung nhỏ BC và cung lớn BC . ĐS: 300° .
Lời giải
Vì C là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ A»B = sđ A¼C +sđ
C»B = 2×sđC»B .
Ta cĩ A· OB = A· OC + C· OB= 2×C· OB
Þ C· OB = A· OB ¸ 2 = 120° ¸ 2 = 60° .
Vậy số đo cung nhỏ BC là 60° và số đo cung lớn BC là 
360° - 60° = 300° .
 --- HẾT ---
 Bài 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Lý thuyết bổ trợ
 ▪ Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
 ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của 
 dây căng cung ấy. ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của 
 cung bị căng bởi dây ấy.
 ▪ Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây 
 căng cung ấy và ngược lại.
Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau
 ▪ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
 ▪ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau
 ▪ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
 ▪ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh hai cung
 ▪ Sử dụng định nghĩa gĩc ở tâm, kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường trịn (O) . Cho biết B· AC 50 . So sánh các 
cung nhỏ AB , AC và BC .
Lời giải
Vì ABC cân tại A và B· AC 50 nên 
 180 B· AC 180 50
C· AB ·ABC 65 .
 2 2
Ta thấy C· AB ·ABC B· AC nên sdB»C sd»AC sd»AB .
Vậy B»C »AC »AB .
Ví dụ 2. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.
Lời giải.
Đặt B»D và »AC là hai cung bị chắn bởi hai dây song song 
AB,CD .
Vì OAB cân tại O và OH là đường cao của OAB nên 
H· OB H· OA (1)
Vì OCD cân tại O và OK là đường cao của OCD nên 
K· OD K· OC (2)
Ta thấy B· OD H· OB K· OD H· OA K· OC ·AOC (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ B»D = sđ »AC .
Vậy B»D = »AC (đpcm).
Ví dụ 3. 
a) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung 
ấy. b) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy và 
ngược lại
Lời giải
a) Ta cĩ C»B C»A CB CA
 C· BA C· AB (do CBA cân tại C ).
Mà OBC OAC (c-c-c) O· CB O· CA.
Do đĩ MBC MAC (g-c-g) MB MA (đpcm).
b) Chiều thuận: Vì CBA cân tại C và CM là trung tuyến (cmt) nên 
CM  AB .
Chiều ngược: Vì CM  AB và OAB cân tại O nên
 B· OM ·AOM B· OC ·AOC sđB»C sđ»AC BC AC .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD AC . Vẽ đường trịn 
(O) ngoại tiếp tam giác BCD . Từ O lần lượt hạ các đường vuơng gĩc OH , OK với BC và 
BD(H BC, K BD) .
a) Chứng minh OH OK ; b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC .
Lời giải
a) Xét ABC , cĩ BC AB AC (bđt tam giác) (1)
Mà BD AB AD (2)
Từ (1), (2) suy ra BC BD
Vậy OH OK
b) Vì BC BD (cmt) nên B»C B»D (liên hệ giữa cung và dây căng 
cung).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên dây cung AB của một đường trịn (O) , lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn 
bằng nhau AC CD DB . Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E, F . Chứng minh
a) »AE F»B; b) »AE E»F .
Lời giải
a) Vì OAB cân tại O nên O· AB O· BA .
Xét OAC và OBD , ta cĩ
 ▪ OA OB (giả thiết);
 ▪ O· AC ·ABD (chứng minh trên);
 ▪ AC BD (giả thiết).
 OAC OBD (cạnh – gĩc – cạnh). ·AOC B· OD (hai gĩc tương ứng) hay ·AOE F· OB .
Vậy »AE F»B (đpcm).
b) Vì OAC OBD nên OC OD . Do đĩ OCD cân tại O .
 O· CD 90 hay E· CD 90 (do O· CD và E· CD kề bù).
Xét CDE , ta cĩ
E· CD C· ED ED CD ED AC .
Xét AOC và EOD , ta cĩ
 ▪ OA OE ;
 ▪ OC OD ;
 ▪ AC ED ;
 ·AOC E· OD »AE E»F .
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường trịn (O) . Cho biết B· AC 75 . So sánh các 
cung nhỏ AB , AC và BC .
Lời giải
Vì ABC cân tại A và B· AC 75 nên 
 180 B· AC 180 75
C· AB ·ABC 52,5 .
 2 2
Ta thấy C· AB ·ABC B· AC nên sđB»C sđ»AC sđ»AB .
Vậy B»C »AC »AB .
Bài 3. Cho hai đường tron bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các đường kính 
AOC , AO D . Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường trịn (O ) .
a) So sánh các cung nhỏ BC và BD.
b) Chứng minh B là điểm chính giữa của cung EBD ( B»E B»D ).
Lời giải
a) Xét ABC và ABD , ta cĩ
 ▪ ·ABC ·ABD 90 ;
 ▪ AB : cạnh chung;
 ▪ AC AD (giả thiết).
 ABC ABD (cạnh huyền – cạnh gĩc 
 vuơng).
 BC BD (hai cạnh tương ứng);
 B»C B»D .
b) Vì AED cĩ ·AED 90 nên AED vuơng tại E . 1
Mà BC BD BE CD
 2
 B»E B»D
 B là điểm chính giữa của cung E¼BD .
Bài 4. Cho đường trịn (O) đường kính AB . Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo 
cung nhỏ B»N 90 . Vẽ dây MD song song với AB . Dây DN cắt AB tại E . Chứng minh
a) B¼M »AD ; b) DN  AB ; c) DE EN .
Lời giải
a) Ta cĩ MD P AB M»B »AD .
b) AM PBN B¼M »AN .
 »AD »AN AD AN .
 AO là trung trực DN AO  DN .
Vì DN  AB E và AE là trung trực DN
 DE EN (đpcm).
Bài 5. Cho đường trịn (O) đường kính AB . Trên cùng nửa đường trịn lấy hai điểm C, D . Kẻ CH 
vuơng gĩc với AB tại H , CH cắt (O) tại điểm thứ hai E . Kẻ AK vuơng gĩc với CD tại K , AK cắt 
(O) tại điểm thứ hai F . Chứng minh
a) Hai cung nhỏ C»F, D»B bằng nhau. b) Hai cung nhỏ B»F, D»E bằng nhau.
c) DE BF
Lời giải.
a) BF PCD B»C D»F
 B»C C»D D»F C»D B»D C»F
b) AB là đường trung trực của CE
 BC BE B»C B»E D»F B»E .
 B»E E»F D»F E»F B»F D»E
B»F D»E BF DE .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
bài 6. Cho tam giác MNP cân tại M nội tiếp trong đường trịn 
(O) . Cho biết N· MP 30 . So sánh các cung nhỏ MN , MP và 
NP .
Lời giải