Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 Bài 5. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Xét phương trình bậc hai ẩn x : ax2 bx c 0,(a 0). Khi b 2b , gọi biệt thức 
 b 2 ac , ta có
a) Trường hợp 1: Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm.
 b 
b) Trường hợp 2 : Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 
 1 2 a
 b 
c) Trường hợp 3 : Nếu 0 thì phuơng trình có hai nghiệm phân biệt x .
 1,2 a
 Chú ý: Ta thường sử dụng biệt thức khi phương trình bậc hai đã cho với hệ số b chẵn và có 
dạng b 2b , khi đó các phép tính toán trong bài toán đơn giản hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn, giải phương trình bậc hai
 ▪ Bước 1: Xác định các hệ số a,b',c .
 ▪ Bước 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình.
Ví dụ 1. Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm thu gọn để 
giải các phương trình sau
 2 1
a) 3x 4x 1 0 . ĐS: 1;  .
 3
 2 1 2 1 2 
b) 4x 4x 1 0 . ĐS: ;  .
 2 2  
c) 3x2 2 2x 4 0 . ĐS: Vô nghiệm.
d) x2 8x 2 0 . ĐS: 2.
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm thu gọn 
để giải các phương trình sau
a) x2 6x 5 0 . ĐS: 1;5 .
 2 4 10 4 10 
b) 3x 4x 2 0 . ĐS: ;  .
 3 3  
c) x2 2 3x 4 0 . ĐS: 3 7; 3 7 .
d) x2 20x 5 0 . ĐS: 5 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 3. Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đó giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm 
thu gọn
a) x2 2 4x . ĐS: 2 6;2 6. .
b) 3 x2 2 3x 2x2 . ĐS: 3. .
 2 3 3 3 3 
c) 2(x 2) 2x 5 . ĐS: ; .
 2 2  
d) 8(x 8) (x 2)2 . ĐS: Vô nghiệm.
Ví dụ 4. Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đó giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm 
thu gọn
a) 4x x2 5. ĐS: 1;5 .
b) x2 8x 3 . ĐS: Vô nghiệm..
c) x2 2 3x 2x2 1. ĐS: 3 2; 3 2.
d) ( 5 x)2 2 5x 15 . ĐS: 2 5 .
Dạng 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn, xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
 ▪ Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0.
 ì
 ï a ¹ 0
 ▪ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi íï .
 ï D ¢ > 0
 îï
 ì
 ï a ¹ 0
 ▪ Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi íï .
 ï D ¢ = 0
 îï
 ì
 ï a = 0
 ▪ Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi í .
 ï b ¹ 0
 îï
 éa = 0,b = 0,c ¹ 0
 ▪ Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ê .
 êa ¹ 0,D < 0
 ëê
Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 6x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: 9 m 0 .
b) Có nghiệm kép. ĐS: m 9 .
c) Vô nghiệm. ĐS: m 9 .
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 4x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: 4 m 0 .
b) Có nghiệm kép. ĐS: m 4 .
c) Vô nghiệm. ĐS: m 9 .
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 .
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
 ▪ Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với biệt thức D ¢ = b¢2 - ac .
 ▪ Nếu a = 0 , ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất.
 ▪ Nếu a ¹ 0 , ta biện luận phương trình bậc hai theo D ' .
Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số)
a) mx2 2x 4 0. b) x2 4(m 1)x 4m2 0 .
Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số)
a) mx2 6x 2 0 . b) x2 2(m 2)x m2 0 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau
a) x2 10x 16 0 . ĐS: 2;8 .
b) 3x2 4x 2 0 . ĐS: 2;8 .
 2 10 2 10
c) x2 6 2x 2 0 . ĐS: ; .
 3 3
d) x2 40x 10 0 . ĐS: 10 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) x2 8x 3. ĐS: 4 19;4 19.
b) x2 3x 7x 1. ĐS: 5 6; 5 6.
c) (x 2)2 2(1 x) . ĐS: vô nghiệm.
d) x2 6( 2x 3) . ĐS: 3 2 .
Bài 3. Cho phuơng trình x2 2(m 1)x m2 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m 0 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
b) Có nghiệm kép. ĐS: m 0 .
c) Vô nghiệm. ĐS: m 0 .
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: không tồn tại.
Bài 4. Giải và biện luận phương trình mx2 2(m 1)x m 1 0 , ( m là tham số) Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B5]
Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các 
phương trình sau
 2 1
a) 3x 4x 1 0 . Đáp số 1; 
 3
 2 1 2 1 2 
b) 4x 4x 1 0 . Đáp số ; 
 2 2  
c) 3x2 2 2x 4 0 . Đáp sốVô nghiệm
d) x2 8x 2 0 . Đáp số 2r
Lời giải.
a) 3x2 4x 1 0 . a 3,b 2 , c 1. ( 2)2 31 1.
 ( 2) 1 ( 2) 1 1 1
 x1 1.x2 .Vậy S 1; .
 3 3 3 3
b) 4x2 4x 1 0 . a 4 ,b 2 , c 1. (2)2 ( 4)1 8 .
 2 8 1 2 2 8 1 2 1 2 1 2 
 x1 .x2 .Vậy S ; .
 4 2 4 2 2 2  
c) 3x2 2 2x 4 0 . a 3,b 2 , c 4 . ( 2)2 34 10 0 .Vậy phương trình vô 
nghiệm.
d) x2 8x 2 0 x2 2 2 2 0 . a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 12 0.
 2
 x x 2. Vậy S 2 .r
 1 2 1 
Ví dụ 2. [9D4B5]
Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các 
phương trình sau
a) x2 6x 5 0 . Đáp số 1;5
 2 4 10 4 10 
b) 3x 4x 2 0 .Đáp số ; 
 3 3  
c) x2 2 3x 4 0 .Đáp số 3 7; 3 7 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
d) x2 20x 5 0 . Đáp số 5
Lời giải.
 ( 3) 4
a) x2 6x 5 0 . a 1,b 3, c 5 . ( 3)2 15 4 . x 1.
 1 1
 ( 3) 4
 x 5 .Vậy S 1;5.
 2 1
 ( 4) 10 4 10
b) 3x2 4x 2 0 . a 3,b 2 , c 2 . ( 2)2 ( 3)2 10. x .
 1 3 3
 ( 4) 10 4 10 4 10 4 10 
 x2 .Vậy S ; .
 3 3 3 3  
c) x2 2 3x 4 0 . a 1,b 3 , c 4 . ( 3)2 1( 4) 7 .
 ( 3) 7 ( 3) 7
 x 3 7 . x 3 75.Vậy S 3 7; 3 7 .
 1 1 2 1 
d) x2 20x 5 0 x2 2 5x 5 0 . a 1,b 5 , c 5 . ( 5)2 15 0 .
 ( 5)
 x x 5 .Vậy S 5 .r
 1 2 1 
Ví dụ 3. [9D4B5]
Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đó giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn
a) x2 2 4x . Đáp số 2 6;2 6.
b) 3 x2 2 3x 2x2 . Đáp số 3.
 2 3 3 3 3 
c) 2(x 2) 2x 5 . Đáp số ; 
 2 2  
d) 8(x 8) (x 2)2 . Đáp sốVô nghiệmr
Lời giải.
a) x2 2 4x x2 22x 2 0. a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 1( 2) 6 .
 ( 2) 6 ( 2) 6
 x 2 6 . x 2 6 .Vậy S 2 6;2 6 .
 1 1 2 1 
b) 3 x2 2 3x 2x2 x2 2 3x 3 0 . a 1,b 3 , c 3. ( 3)2 13 0 .
 ( 3)
 x x 3 .Vậy S 3 .
 1 2 1  Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
c) 2(x 2)2 2x 5 2x2 23x 3 0. a 2 ,b 3, c 3. ( 3)2 23 3.
 ( 3) 3 3 3 ( 3) 3 3 3 3 3 3 3 
 x1 . x2 .Vậy S ; .
 2 2 2 2 2 2  
d) 8(x 8) (x 2)2 x2 22 2 10 0 . a 1,b 2 2 , c 10 .
 ( 2 2)2 110 2 0 .Vậy phương trình vô nghiệm.r
Ví dụ 4. [9D4B5]
Đưa về dạng ax2 2b x c 0 , từ đó giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn
a) 4x x2 5. Đáp số 1;5
b) x2 8x 3 . Đáp sốVô nghiệm.
c) x2 2 3x 2x2 1. Đáp số 3 2; 3 2
d) ( 5 x)2 2 5x 15 . Đáp số 2 5 r
Lời giải.
a) 4x x2 5 x2 22x 5 0 . a 1,b 2 , c 5 . ( 2)2 1( 5) 9 .
 ( 2) 9 ( 2) 9
 x 1. x 5 .Vậy S 1;5.
 1 1 2 1
b) x2 8x 3 x2 2 2x 3 0 . a 1,b 2 , c 3. ( 2)2 13 1 0 .Vậy phươ
ng trình vô nghiệm.
c) x2 2 3x 2x2 1 x2 2 3x 1 0 . a 1,b 3 , c 1. ( 3)2 1( 1) 4 .
 ( 3) 4 ( 3) 4
 x 3 2 . x 3 2 .Vậy S 3 2; 3 2 .
 1 1 2 1 
d) ( 5 x)2 2 5x 15 x2 22 5x 20 0 . a 1,b 2 5 , c 20 .
 (2 5)
 ( 2 5)2 120 0 . x x 2 5 .Vậy S 2 5 .r
 1 2 1 
Ví dụ 5. [9D4K5]
Cho phương trình mx2 6x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt. Đáp số 9 m 0
b) Có nghiệm kép. Đáp số m 9
c) Vô nghiệm. Đáp số m 9 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
d) Có đúng một nghiệm. Đáp số m 0
Lời giải.
a) ( 3)2 m( 1) 9 m .Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 a 0 m 0 m 0
 0 9 m 0 m 9.
 a 0 m 0 m 0
b) Phương trình có nghiệm kép m 9.
 0 9 m 0 m 9
 a 0 m 0 m 0
c) Phương trình vô nghiệm m 9.
 0 9 m 0 m 9
 a 0
d) Phương trình có đúng một nghiệm m 0 .
 b 0
Ví dụ 6. [9D4K5]
Cho phương trình mx2 4x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt. Đáp số 4 m 0
b) Có nghiệm kép. Đáp số m 4
c) Vô nghiệm. Đáp số m 9
d) Có đúng một nghiệm. Đáp số m 0
Lời giải.
 a 0 m 0 m 0
a) Ph ng trình có hai nghiệm phân biệt 
 ươ 2 
 ( 2) m( 1) 0 4 m 0 m 4.
 a 0 m 0
b) Phương trình có nghiệm kép m 4 .
 0 m 4
 a 0 m 0
c) Phương trình vô nghiệm m 9 .
 0 m 9 0
 a 0
d) Phương trình có đúng một nghiệm m 0 .
 b 0
Ví dụ 7. [9D4G5]
Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 2x 4 0. Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
b) x2 4(m 1)x 4m2 0 .r
Lời giải.
a) mx2 2x 4 0.TH1. a 0 m 0 , phương trình trở thành 2x 4 0 x 2 .TH2. 
 a 0 m 0 . (1)2 m4 1 4m .
 1
b) 1 4m 0 m , phương trình vô nghiệm.
 4
 1 1
c) 1 4m 0 m , phương trình có nghiệm kép x 4.
 4 0 m
 1
d) 1 4m 0 m , phương trình có hai nghiệm phân biệt [+]2
 4
 1 1 4m
e) x 
 1 m
 1 1 4m
f) x r
 2 m
Kết luận
 1
g) m , phương trình vô nghiệm.
 4
h) m 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x 2 .
 1
i) m , phương trình có nghiệm kép x 4 .
 4 0
 1
j) m và m 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt [+]2
 4
 1 1 4m
k) x 
 1 m
 1 1 4m
l) x r
 2 m
m) x2 4(m 1)x 4m2 0 . ( 2(m 1))2 4m2 8m 4 .
 1
n) 8m 4 0 m , phương trình vô nghiệm.
 2
 1 ( 2(m 1))
o) 8m 4 0 m , phương trình có nghiệm kép x 2m 2 1.
 2 0 1 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 1
p) 8m 4 0 m , phương trình có hai nghiệm phân biệt [+]1
 2
 ( 2(m 1)) 8m 4
q) x 2(m 1) 8m 4
 1 1
 ( 2(m 1)) 8m 4
r) x 2(m 1) 8m 4. r
 2 1
Kết luận
 1
s) m , phương trình vô nghiệm.
 2
 1
t) m , phương trình có nghiệm kép x 1.
 2 0
 1
u) m , phương trình có hai nghiệm phân biệt
 2
. x1 2(m 1) 8m 4
. x2 2(m 1) 8m 4. r
Ví dụ 8. [9D4G5]
Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 6x 2 0 .
b) x2 2(m 2)x m2 0 .r
Lời giải.
 1
a) mx2 6x 2 0 .TH1. a 0 m 0 , phương trình trở thành 6x 2 0 x .TH2. 
 3
 a 0 m 0 . ( 3)2 m2 9 2m .
 9
b) 9 2m 0 m , phương trình vô nghiệm.
 2
 9 3 2
c) 9 2m 0 m , phương trình có nghiệm kép x .
 2 0 m 3
 9
d) 9 2m 0 m , phương trình có hai nghiệm phân biệt [+]2
 2
 3 2m 9
e) x 
 1 m