Đề thi chính thức HSG Toán 9 cấp Thị xã - Năm học 2018-2019 - PGD Thị xã Giá Rai (Có đáp án

 Họ và tên thí sinh: .. .. Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh: .. ... . .. 
PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP THỊ XÃ 
 NĂM HỌC 2018 - 2019 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 0 1 t r a n g ) 
 * Ngày thi: 18/11/2018 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ 
 Câu 1: (5 điểm) 
 a) Tìm m,n thỏa mãn: m2 + n2 = m + n +8. 
 b) Cho biểu thức: A = n(n +1)(n + 2)(n + 3), với n nguyên dương. Chứng 
 minh: A không phải là số chính phương. 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) Giải phương trình: x2 + x2 − 2x −19 = 2x +39 . 
 x2 + y2 − xy = 3
 b) Giải hệ phương trình: 
 3 3
 x + y = 9
 Câu 3: (5 điểm) 
 1
 a) Cho: x,y 0 thỏa mãn x + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 y
 x y
 B = + . 
 y x
 2 x − 9 2 x +1 x + 3
 b) Cho biểu thức: M = − − . Tìm các giá trị nguyên 
 x −5 x + 6 3− x x − 2
 của x để M nhận giá trị nguyên. 
 Câu 4: (5 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính 
 AH cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng 
 minh: 
 a) AE.AB = AF.AC. 
 b) MF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AH. 
 c) H AM=H BO . 
 d) Điểm O là trực tâm của tam giác ABM. 
 --- HẾT --- 
 1 PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ 
 NĂM HỌC 2018 - 2019 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 ( Gồm 0 4 t r a n g ) 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu 1: (5 điểm) 
 a) Ta có: 
 2 2
 m + n = m + n +8 
 2 2
 4m + 4n = 4m + 4n + 32 0,75 đ 
 2 2
 (2m −1) + (2n −1) = 34 0,75 đ 
 Mà: m,n . Do đó: 2m −1 −1 và 2n −1 −1 0,25 đ 
 Khi đó: 
 2m −1 = 3 2m −1 = 5
 hoặc 0,5 đ 
 2n −1 = 5 2n −1 = 3
 m = 2 m = 3
 Vậy: hoặc 0,25 đ 
 n = 3 n = 2
 b) Ta có: 
 A = n(n +1)(n + 2)(n + 3) 
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) 0,75 đ 
 2
 = (n2 + 3n) + 2(n2 + 3n) 0,75 đ 
 Ta thấy: 
 2 2
 (n2 + 3n) A (n2 + 3n +1) 0,75 đ 
 Vậy: A không phải là số chính phương 0,25 đ 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) Đặt: x2 − 2x −19 = y 0 0,25 đ 
 Ta có phương trình: y2 + y − 20 = 0 
 y = 4;y = −5 (loại) 1,0 đ 
 Với y = 4. Ta có phương trình: 
 x2 − 2x −19 = 4 x = 7; x = −5 1,0 đ 
 1 Vậy: S=− 5; 7 0,25 đ 
b) Ta có: 
 22
 x22+ y − xy = 3 x+ y − xy = 3
 0,25 đ 
 33 22
 x+= y 9 (x+ y)( x + y − xy) = 9
 x+= y 3 x+= y 3
 2 1,5 đ 
 (x+ y) − 3xy = 3 xy= 2
Khi đó: 
 x1= x2=
 hoặc 0,5 đ 
 y2= y1=
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; 0,25 đ 
Câu 3: (5 điểm) 
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương. Ta có: 
 x y x y 15y
 B = + = + + 0,5 đ 
 y x y 16x 16x
 x y 15y 1 15y
 2  + = + 0,5 đ 
 y16x 16x 2 16x
 1 1 y
Và: 1 x + 2 x  4 0,5 đ 
 y y x
 1 15 17
Do đó: B + = 0,5 đ 
 2 4 4
 1
 x = 1
 17 y x =
Vậy: Min B = 2 0,5 đ 
 4 1
 x1+= y2=
 y
b) ĐKXĐ: x0 ; x4 ; x9 0,25 đ 
Ta có: 
 2 x− 9 2 x + 1 x + 3
 M = − − 
 x− 5 x + 6 3 − x x − 2
 2 x− 9 2 x + 1 x + 3 x+ 1 4
 = + − = =1 + 1,5 đ 
 ( x−− 3)( x 2) x−− 3 x 2 x−− 3 x 3
 2 Do đó để M nhận giá trị nguyên. Thì: 4 ( x −3) x 1;16; 25; 49 0,5 đ 
Vậy x 1;16; 25; 49 thì M nhận giá trị nguyên 0,25 đ 
Câu 4: (5 điểm) 
 A
 K F
 O
 E
 B
 H M C
 Hình vẽ đúng, chính xác 0,5 đ 
 a) Ta có: A EH=A FH = 900 (ΔAEH và ΔAFH nội tiếp đường tròn tâm O, đường 
 kính AH) 0,25 đ 
 Áp dụng hệ thức lượng cho 2 tam giác vuông AEH và AFH. Ta có: 
 AH2 =AE.AB và AH2 =AF.AC 1,0 đ 
 AE.AB = AF.AC 0,25 đ 
 b) Ta có: ΔOFM =ΔOHM (c-c-c) 0,5 đ 
 O FM=O HM = 900 
 MF ⊥ OF tại F 0,25 đ 
 Vậy: MF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AH. 0,25 đ 
 c) Ta có: AH2 =BH.CH; AH=2OH; CH=2HM 
 2AH.OH=2BH.HM 0,5 đ 
 AH BH
 = 
 MH OH
 HAM ∽ HBO(c-g-c) 0,25 đ 
 H AM=H BO 0,25 đ 
 d) Gọi K là giao điểm của BO và AM 
 Ta có: H BO + B MK = H AM + H MA = 900 0,25 đ 
 3 BKM=90 0 
 ⊥BK AM 0,25 đ 
Xét ΔABM có: AH⊥ BM ; BK⊥ AM ; AH BK= O 0,25 đ 
Vậy: O là trực tâm của 0,25 đ 
 -- HẾT--- 
 4