Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20
 Thời gian : 150 phút
Câu 1 :(4đ) Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Câu 2 :(2đ) 
 Thay dấu * bởi các chữ số sao cho 
 	 là một số nguyên
Câu 3 :(2đ) Giải phương trình 
Câu 4: (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF .
 a.Chứng minh rằng các điểm E,F luôn nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi .
 b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB .
 c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi.
Câu 5 :(5điểm ) :
 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= + với 0 < x <1 
 2. a, Cho x,y là hai số dương . chứng minh rằng : + 
 b,Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c 
 Chứng minh rằng :
 + + 2 ( + + )
đáp án và thang điểm
câu
Nội dung
Điểm
1a.
đk 
0,5
Ta có: 
0,5
= 
0,5
=
0,5
= Vậy P = 
0,5
b.
Ta thấy P = 1 
0,5
0,5
Vậy với x = 25 thì P = 1
0,5
2
đặt thì x5 = *****4
0,5
x tận cùng bởi 4
0,5
Lại có 10 < x < 20 vì 105 =100000<*****4 <32.100000=205
0,5
Do đó x=14 và x5 = 145 =537824
0,5
3
 (điều kiện x)
0,25
+= 5
0,25
 (*)
0,25
-trường hợp 
0,25
 thì 
thoả mãn điều kiện x
0,25
- trường hợp 
0,25
(*)
phương trình nghiệm đúng với mọi x
0,25
kết hợp cả 2 trường hợp ta có tập nghiệm của phương trình là x
0,25
Câu4
a
 ABFvà AFC đồng dạng (g_g)
0.5đ
Ta có :AB/ AF=AF/ACAF2=AB.AC
0.5đ
AF= Mà AE=AF nên AE=AF= không đổi
0.5đ
Vậy E,F thuộc đường tròn (A;) cố định.
0.5đ
b
Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn
Ta có :AIF =AOF (1)
AOF = EOF và EKF =EOF
0.5đ
EKF =AOF (2)
0.5đ
Từ(1) và(2) AIF =EKF 
0.5đ
 Do đó :EK vàAB song song vơí nhau
0.5đ
c
Cm được A,N,O thẳng hàng và AOEF ; Gọi H là giao điểm của BC và EF 
Ta có : ANH và AIO đồng dạng nên 
0.5đ
Suy ra :AH.AI =AN.AO
Lại có :AN .AO=AE2 =AB.AC
0.5đ
Do đó : AI.AH =AB.AC không đổi . Vậy H cố định
1đ
Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp OIN luôn qua I và H ;Do đó tâm đường tròn này nằm trên đường trung trực của IH
1đ
câu5
1
 (với 0 <x < 1)
0.5đ
áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dươngvà ta có 
0.5đ
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi :
0.5đ
Vậy min A = khi 
0.5đ
2a
 cho x>0, y>0 ta có
0.5đ
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x- y = 0 hay x=y
Vậy: dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=y
0.5đ
b, 
ta có: 
0.5đ
áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có: 
0.5đ
Tương tự ta có:
; 
2
0.5đ
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c
0.5đ
 ý kiến ban thẩm duyệt Quan hoá, ngày 12 tháng 4 năm 2011
	Người ra đề
	Hà Lệ Thảo