Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn: Toán 9 - Trường THCS Vũ Di

Phòng GD- ĐT vĩnh tường
Trường THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
----------------------------------------------
Bài 1. (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau : 
a)A =++ ..... ++
b) B = x3 - 3x + 2000 với x = + 
Bài 2 (2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
3x2 + 4x + 10 = 2
x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyờn)
Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cho ba số thực không âm sao cho . 
Chứng minh: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người.
Bài 5 ( 3,0 điểm ) 
 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
Chứng minh :
Chứng minh : ; ( Kí hiệu là diện tích tứ giác ABCD )
 2) Cho tam giác ABC cân tại A có .Chứng minh : là số vô tỉ.
===============================================
Phòng GD- ĐT vĩnh tường
Trường THCS vũ di
--------------------
Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9 
----------------------------------------------
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 1.b
(1,5 đ)
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=, b=
và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra B = 2006 
0,75
a
Có A = +++...++ 
Rút gọn, được A = .
0,75
Bài 2a
(2,0đ)
Giải, xỏc định đỳng điều kiện: 
= 0
(Thỏa món)
0,25
0,25
0,25
b
Điều kiện : 
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1 ; Đỳng với mọi giỏ trị của y.
Thay x = 2 vào phương trỡnh và giải đỳng, tỡm được y = 1,5
 Vậy nghiệm của phương trỡnh: (x = 2; y = 1,5)
0.5
0,25
c
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 52y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
Đặt y = 2n; (n ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhỡn vào (*) ta cú nhận xột: Vế trỏi nhận giỏ trị lẻ, vế phải nhận giỏ trị chẵn (Vỡ k và k + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp) (*) vụ nghiệmpt đó cho vụ nghiệm
0,25
0,25
Bài 3a
(2,0đ)
Ta có: 
Vậy: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
0,25
0,25
b
Theo kết quả câu 3.a, ta có:
mà (giả thiết)
nên: (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) 
Nhưng: (không âm)
Suy ra: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 
0,25
0,25
0,25
c
Ta có:
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
Suy ra: 
Do đó: khi và chỉ khi: (vì là góc nhọn) 
0,25
0,25
0,25
Bài 4
(1,5đ)
+ Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x ³ 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y Ê 30).
+ Do đó ta có phương trình: 
0,25
0,25
0,25
+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên phải là ước số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc 
Nếu thì (trái giả thiết)
Nếu thì < 30 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:
 học sinh.
0,25
0,25
0,25
Bài 5
(3,0đ)
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đường trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )
0,25
1a
Ta có mà 
0,25
Xét EBK có ,đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có
0,25
Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nên (Đpcm)
0,25
1b
Xét và có và chung 
Chứng minh tương tự ta được 
0,25
0,25
Ta có 
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có 
Từ đó ta có : 
0,25
0,25
2
0,25
Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của , tia Cx cắt đường thẳng AB tại D.Khi đó Ta có cân tại C , cân tại B.Theo tính chất đường phân giác trong tam giác BCD ta có 
0,25
0,25
 ( Vì .Vậy là số vô tỉ
0,25