Giáo án môn Đại số 9 - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 3 hệ phương trình tuyến tính
A. Mục đích yêu cầu
1. Kiến thức
- Sinh viên cần nắm được khái niệm, điều kiện có nghiệm, phương pháp giải hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình tuyến tính tổng quát, mối liên hệ giữa nghiệm của hệ không thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng.
2. Kĩ năng
- Giải thành thạo hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thần nhất, hệ phương trình tổng quát.
- Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
3. Thái độ 
- Tự giác, tích cực, chủ động trong lĩnh hội tri thức mới.
4. Tư duy
- Tư duy sáng tạo, suy luận logic.
b. Phương pháp giảng dạy
- Thuyết trình, gợi mở vấn đáp.
c. Nội dung 
1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính.
1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 
a. Dạng khai triển.
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số có dạng tổng quát như sau:
 (3.1)
Trong đó và là các hằng số cho trước, số được gọi là hệ số của ẩn trong phương trình thứ i và được gọi là số hạng tự do của phương trình thứ i (i = 1,.,m; j = 1,2,,n).
b.Dạng ma trận 
 ; ; 
 ; 
A được gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận vế phải (cột số hạng tự do), là ma trận mở rộng. Khi đó phương trình (3.1) có thể viết dưới dạng ma trận : AX=B.
1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
- Định nghĩa: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính n ẩn số (3.1) là một bộ n số có thứ tự mà khi gán vào tất cả các phương trình của hệ thì ta được các đẳng thức đúng.
 - Nghiệm của hệ phương trình (3.1) có thể viết một trong 3 dạng sau:
 ,,
- Giải hệ phương trình tuyến tính nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.
1.3 Hệ tam giác và hệ hình thang.
a. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác là hệ phương trình có dạng :
 (3.2)
trong đó (i = 1,,n).
- Cách giải: Từ phương trình cuối cùng của hệ ta xác định được :
Thay vào phương trình phía trên ta có phương trình một ẩn số , từ đó xác định được . Lặp lại quá trình theo trình tự từ dưới lên ta tìm được ,, .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : .
-Ví dụ : Giải hệ phương trình 3 ẩn số:
Từ (c) ta có: thay vào (b) có : . Thay vào (a) ta có : . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1,2,-1).
 b. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang là hệ phương trình có dạng:
 (3.3)
m ẩn đầu gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do.
- Cách giải: Gán cho các ẩn tự do giá trị tùy ý ,,và chuyển các số hạng chứa chúng sang phải ta được một hệ tam giác với các ẩn chính :
Theo phương pháp giải hệ tam giác ta xác định được giá trị của các ẩn theo . Nghiệm của hệ (3.3) có dạng :
 (3.4)
Hệ hình thang (3.3) có vô số nghiệm.
- Nghiệm viết dưới dạng (3.4) với là một bộ n-m hằng số bất kỳ, được gọi là nghiệm tổng quát .
- Mỗi bộ số thực gán cho các ẩn tự do cho tương ứng một nghiệm của hệ (3.3) gọi là nghiệm riêng .
Chú ý: Hệ phương trình dạng tam giác và hình thang có chung một đặc điểm là theo trình tự từ trên xuống dưới các ẩn số khuyết dần: phương trình thứ i có mặt ẩn , nhưng khuyết các ẩn đứng trước nó , tức là và . Hệ phương trình tam giác có số phương trình bằng số ẩn, hệ hình thang có số phương trình ít hơn số ẩn.
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Giải
Gán ta được hệ sau:
Theo quy tắc giải hệ tam giác ta có :
Nghiệm tổng quát của hệ: (,,,,).
Với ta có nghiệm riêng (-19,4,2,0,0).
2. Hệ Cramer
2.1 .Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0. Hệ Crame n ẩn số có dạng:
 (3.5)
với ma trận hệ số là ma trận vuông cấp n: có định thức .
- Dạng ma trận: AX = B (3.6) trong đó
 ,
- Cách giải :
Do nên . Nhân 2 vế của (3.6)với về bên trái ta được hệ tương đương:
 (3.7)
Vậy hệ Crame có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức (3.7)
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Giải 
, do nên hệ trên là hệ Cramer.
Ma trận nghịch đảo của ma trận A là :
áp dụng công thức (3.7) ta có : 
Vậy nghiệm của phương trình là:(2,-1,1).
2.2 Quy tắc Cramer
Định lý (quy tắc Cramer)
Nghiệm duy nhất của một hệ phương trình Cramer n ẩn số được xác định theo công thức:
 (3.8)
trong đó d =detA, là định thức có cột thứ j là cột hệ số tự do và tất cả các cột còn lại như của định thức d.
Chứng minh
Ta có : 
 (j=1,,n)
Khai triển định thức theo cột thứ j ta có;
 (3.9)
trong đó là phần bù đại số của phần tử của định thức d.
Nghiêm duy nhất của hệ được xác định theo (3.7).áp dụng (3.7) và (3.9) ta có :
Vậy ta có công thức (3.8)
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 
Giải Ta có :
 ;	
;	
áp dụng quy tắc Cramer có: 
3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
3.1 Điều kiện có nghiệm
Định lý Cronecker-Capelli
Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số.
Chứng minh
Cần: Giả sử hệ phương trình tuyến tính (3.1) có nghiệm,ta phải chứng minh .
Thật vậy hệ (3.1) có nghiệm tức là có để cho 
 Hay với 
Suy ra cột cuối cùng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của n cột đầu .Theo tính chất hạng của ma trận ta có .
Đủ: Giả sử =k, ta phải chứng minh hệ (3.1) có nghiệm. Không mất tính chất tổng quát ta có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và nằm ở góc trái. Khi đó k cột đầu tiên độc lập tuyến tính, các cột còn lại có thể biểu diễn qua k cột đầu. Xét trường hợp riêng B biểu diễn qua k cột đầu tức là:
Lấy thì ta có một nghiệm của (3.1) (đpcm).
3.2 Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính(3.1)
+ Trường hợp thì hệ (3.1) vô nghiệm (theo định lý Cronecker-Capelli)
+ Trường hợp không mất tính chất tổng quát, giả sử rằng định thức con cấp r ở góc trái ma trận A là định thức con cơ sở của nó:
D cũng là định thức con cơ sở của, suy ra r dòng đầu của là một cơ sở của hệ vectơ dòng của nó. Gọi là dòng thứ i của ma trận . Các vectơ độc lập tuyến tính và tất cả các vectơ (nếu r < m) biểu diễn tuyến tính qua .Với mỗi k = r +1,, m ta có:
 ( 3.10)
Theo hệ thức (3.10) ta có thể biến đổi sao cho mỗi dòng của ma trận mở rộng, từ dòng thứ r +1 trở xuống (nếu có), thành vectơ không n + 1 chiều bằng cách cộng lần lượt vào dòng thứ k ( k = r +1,, n) tích của mỗi dòng với . Điều này chứng tỏ hệ (3.1) tương đương với hệ :
 (3.11)
Hệ (3.11) được gọi là hệ phương trình cơ sở của hệ (3.1). Việc giải hệ (3.1) quy về giải hệ (3.11).
+ Nếu r = n hệ (3.11) là hệ Cramer. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu r < n thì theo định thức con cơ sở ta gọi các ẩn là các ẩn chính và các ẩn còn lại là ẩn tự do. Khi đó ta có hệ đã cho có vô số nghiệm.
*Kết luận:
- Số nghiệm của phương trình tuyến tính có thể xác định được thông qua và :
+ Nếu thì hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm.
+ Nếu (n là số ẩn số) thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất .
+ Nếuthì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm.
- Khi thì (3.1) tương đương với hệ phương trình cơ sở của nó. Hệ phương trình cơ sở gồm r phương trình độc lập tuuyến tính. Các phương trình còn lại của hệ là phương trình hệ quả của các phương trình cơ sở.
- Khi , để xác định hệ phương trình cơ sở, chỉ định các ẩn chính và ẩn tự do ta chọn một định thức con cơ sở của ma trận hệ số. Nếu định thức con cơ sở được tạo thành từ các dòng và các cột của ma trận A thì hệ phương trình cơ sở gồm r phương trình và các ẩn chính là các ẩn có chỉ số , các ẩn còn lại (khi r<n) là các ẩn tự do.
Ví dụ 
Giải các hệ phương trình sau
 1) 
Giải:
Ta có vì ; vì .Suy ra . 
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
2) Giải hệ phương trình sau:
Giải: 
Ta có: vì và vì .
Do nên hệ có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình cơ sở là:
áp dụng quy tắc Cramer ta tìm được nghiệm: 
3) 
Ta có nên suy ra hệ có vô số nghiệm. Hệ phương trình cơ sở :
Gán ta được hệ Cramer:
Theo quy tắc Cramer ta tìm được :
Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
 trong đó là ba số bất kỳ.
4) Giải và biện luận hệ phương trình sau:
 ( m là tham số )
Giải:
Ta có 
Nếu thì ,hệ đã cho là hệ Cramer.
Hệ có nghiệm duy nhất là: 
Nếu m =-2 thì d = 0 do đó , do nên suy ra nên hệ đã cho vô nghiệm.
3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác định khi biết ma trận mở rộng của nó, do đó mỗi phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với một phép biến đổi ma trận mở rộng .
Biến đổi hệ phương trình
Biến đổi ma trận mở rộng
Đổi chỗ hai phương trình của hệ
Đổi chỗ hai dòng tương ứng của ma trận mở rộng 
Nhân 2 vế của một phương trình với một số 
Nhân dòng tương ứng của ma trận mở rộng với số 
Cộng vào mỗi vế của phương trình thứ i tích của các vế tương ứng của phương trình thứ k với một số (để biến đổi phương trình thứ i)
Cộng vào dòng thứ i của ma trận mở rộng tích của dòng thứ k với số (để biến đổi dòng thứ i)
Trong quá trình biến đổi, nếu ma trận mở rộng có một dòng nào đó tất cả các số bằng 0 thì ta bỏ dòng đó đi.
Bằng các phép biến đổi sơ cấp, ta đưa hệ (3.1) về dạng hệ tam giác hoặc hệ hình thang. Giải hệ tam giác hoặc hệ hình thang đó ta có kết luận về nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1) 
Ta có :
Ma trận cuối cùng này là ma trận của hệ phương trình dạng tam giác:
Giải hệ này ta tìm được nghiệm (1,-1,2).
2) 
Ta có:
Ma trận cuối cùng là ma trận mở rộng của hệ có chứa phương trình với tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0 và số hạng tự do ở vế phải bằng 3, do đó hệ đã cho vô nghiệm.
3) 
Ta có ma trận mở rộng của hệ trên là:
Xóa đi dòng cuối cùng ta được ma trận mở rộng của hệ hình thang:
Giải hệ trên ta tìm dược nghiệm tổng quát:
trong đó là hằng số bất kỳ.
* Chú ý 
Trong một số trường hợp, để biến đổi hệ phương trình tuyến tính về đúng dạng tam giác hoặc hình thang, có thể phải sắp xếp lại thứ tự các ẩn số (tương ứng với việc đổi chỗ các cột của ma trận hệ số).
4) 
Biến đổi ma trận mở rộng của hệ trên :
Cả hai phương trình phía dưới đều khuyết ta không thể biến đổi thông thường. Để khắc phục ta đổi chỗ ẩn và ẩn ( tương ứng với việc đổi chỗ các cột hệ số) ta được ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính với các ẩn là: :
Biến đổi thông thường ta có:
Ta có hệ hình thang:
Giải hệ ta được:.
4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính với tất cả các số hạng tự do bằng 0. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số có dạng tổng quát như sau:
 (3.12)
Hệ thuần nhất (3.12) có ít nhất một nghiệm gọi là nghiệm không hay nghiệm tầm thường : .
4.1 .Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường
- Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn được xác định thông qua hạng của ma trận hệ số của nó và số ẩn:
Nếu thì hệ có duy nhất nghiệm tầm thường.
 Nếu thì hệ thuần nhất có vô số ngiệm.
Định lý
 Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường là: hạng của ma trận hệ số của nó nhỏ hơn số ẩn.
 Hệ quả 1
Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Chứng minh: Thật vậy khi m = n thì ma trận của hệ (3.12) là ma trận vuông cấp n. Gọi A là ma trận hệ số của (3.12) khi đó r(A) < n .
 Hệ quả 2
Mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất vơi số phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có nghiệm không tầm thường. 
Chứng minh: Ta có nên nếu m < n thì điều kiện r(A) < n được thỏa mãn. Do đó hệ có vô số nghiệm.
4.2 Hệ nghiệm cơ bản ( trình bày chương sau)
4.3 Sự liên hệ giữa các nghiệm của hệ không thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng.
Xét hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất :
 (a)
và hệ thuần nhất tương ứng:
 (b)
Dạng ma trận: AX = B ()
 AX = 0 ()
Định nghĩa: 
Hệ (b) được gọi là hệ thuần nhất liên kết của hệ phương trình tuyến tính (a).
Định lý :
Hiệu hai nghiệm bất kỳ của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất (a) là một nghiệm của hệ thuần nhất liên kết của nó.
Tổng của một nghiệm bất kỳ của hệ (a) với một nghiệm bất kỳ của hệ thuần nhất liên kết là nghiệm của hệ (a).
Chứng minh
1) Gọi là hai nghiệm bất kỳ của hệ không thuần nhất (a) ta có: 
 Suy ra là một nghiệm của (b).
2) Gọi C là nghiệm bất kỳ của (a) và G là nghiệm bất kỳ của(b) Ta có:
 Suy ra C+ G là một nghiệm của (a).
Nhận xét :Nếu là một nghiệm riêng của (3.11) và là một hệ nghiệm cơ bản của (3.12) thì nghiệm tổng quát của (3.11) có thể viết dưới dạng:
 trong đó là các số thực bất kỳ.