Giáo án môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 

ìax + by = c

 và cách giải
îa
í / x + b/ y = c /
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
NỘI DUNG:
I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
ì3x - 2 y = 4 Û ì3x - 2(5 - 2x) = 4
í	í
î2x + y = 5	î y = 5 - 2x
Û ì3x -10 + 4x = 4 Û ì7x = 14
í y = 5 - 2x	í y = 5 - 2x
î	î
Û ìx = 2	Û ìx = 2
í y = 5 - 2.2	í y = 1
î	î
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
ì3x - 2 y = 4 Û ì3x - 2 y = 4 Û ì7x = 14
í	í	í
î2x + y = 5	î4x + 2 y = 10	î2x + y = 5
Û ìx = 2	Û ìx = 2
í .2 + y = 5	í y = 1
î2	î
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
í
1) ì4x - 2 y = 3
î6x - 3y = 5
2) ì2x + 3y = 5
í
î4x + 6 y = 10
3) ì3x - 4 y + 2 = 0
í
ï
î5x + 2 y = 14
4) ì2x + 5 y = 3
í
y
î3x - 2 y = 14
5
ìïx
- (1 +
3) y = 1
ì0,2x + 0,1y = 0,3
ì x = 2
5
5) í
6) í
7) í	3
ïî(1 -
3)x + y	= 1
î3x + y = 5
ïîx + y - 10 = 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
í
1) ì(3x + 2)(2 y - 3) = 6xy
î(4x + 5)( y - 5) = 4xy
2) ì2(x + y) + 3(x - y) = 4
í
î(x + y) + 2(x - y) = 5
ï 	
ì2 y - 5x + 5 = y + 27 - 2x
3) ì(2x - 3)(2 y + 4) = 4x( y - 3) + 54
4) ï	3	4
í
î(x
+ 1)(3y - 3) = 3y(x + 1) -12
í x + 1
y =
6 y - 5x
ì1 (x + 2)( y + 3) - 1 xy = 50
îï 3	7
2
ï
1
5) í
ï
ïî2

xy -
2
1 (x - 2)( y - 2) = 32
2
6) ì(x + 20)( y -1) = xy
í
î(x -10)( y + 1) = xy
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Bài tập:
ì1 + 1 = 1
ì	2	+	1	= 3
ì 3x -	2	= 4
1) ï x	y	12
2) ï x + 2 y	y + 2x
3) ï x + 1	y + 4
í8	15
í	4	3
í 2x	5
ï	+	= 1
ïî x	y
ï -
ïî x + 2 y
y + 2x = 1
ï -
x
y
ïî x + 1
y + 4 = 9
ìïx 2 + y 2 = 13
ìï3	+ 2
= 16
ìï x + 4 y
= 18
4) í
ïî3x 2
- 2 y 2
= -6
5) í
x
y
ïî2	- 3
= -11
6) í
ïî3 x +
y = 10
ìï2(x2 - 2x) +
7) í
y + 1 = 0
ìï5 x -1 - 3 y + 2 = 7
4x2 - 8x + 4
y 2 + 4 y + 4
8) í
ïî3(x2 - 2x) - 2
y + 1 = -7
ïî2
+ 5	= 13
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = Û b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b
Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
Nếu b ¹ 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu a ¹ 0 thì (1) Þ x =
b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ
a
phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
ìmx - y = 2m(1)
î
í4x - my = m + 6(2)
Từ (1) Þ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 Û (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2)	(3)
Nếu m2 – 4 ¹ 0 hay m ¹ ± 2 thì x =
(2m + 3)(m - 2) = 2m + 3
Khi đó y = -
m2 - 4
m	. Hệ có nghiệm duy nhất: ( 2m + 3 ;-
m + 2
m	)
m + 2
m + 2
m + 2
Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x Î R
Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m¹ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( 2m + 3 ;-
m + 2
m	)
m + 2
Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x Î R
Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
 Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìmx + y = 3m -1
î
1) íx + my = m + 1
ìx + my = 3m
ìmx + 4 y = 10 - m
î
2) íx + my = 4
î
ìïx - my = 1 + m2
ì(m -1)x - my = 3m -1
î
3) í2x - y = m + 5
ì2x - y = 3 + 2m
4) í
îmx - y = m2 - 2
5) íïmx + y = 1 + m2
6) í
îmx + y = (m + 1)2
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n +
k	với n, k nguyên
f (m)
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
 Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
í
ìmx + 2 y = m + 1
î2x + my = 2m -1
 HD Giải:
í
ìmx + 2 y = m + 1
Û ì2mx + 4 y = 2m + 2
î2x + my = 2m -1
í
î2mx + m2
y = 2m2 - m
Û
ì(m2 - 4) y = 2m2 - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1)
í
î2x + my = 2m -1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ¹ 0 hay m ¹ ± 2
Vậy với m ¹ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
ì y = (m - 2)(2m + 1) = 2m + 1 = 2 -	3
ï
í
ï
ïx =
î
m2 - 4
m -1 = 1 -
m + 2

3
m + 2
m + 2
m + 2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Î Ư(3) = {1;-1;3;-3} Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5
 Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
îm
ì(m + 1)x + 2 y = m -1
Bài 2:
í 2 x - y = m2
2m
Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
í
ì2mx - (m + 1) y = m - n
î(m + 2)x + 3ny = 2m - 3
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết
cho ax + b thì f(- b ) = 0
a
=
í
4
í
ì	1	ì a	b
f ( )	0	+	- 3 = 0
ï	Û ï 8	4
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
ïî f (-3) = 0	ïî18a - 3b - 3 = 0
Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
ì f (2) = 6
Û ì4a + 2b = 2 Û ìa = -1
î
îa
= 3
îb
í f (-1) = 0
Bài 3:
í - b = -4	í
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
ì2a + b = 1 Û ìa = -1
î
= 3
îb
ía + b = 2	í
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)	b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
 DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
nghiệm của hệ phương trình:
ì3x + 2 y = 4 Û ìx = 0,5

. Vậy M(0,2 ; 1,25)
î
î
íx + 2 y = 3	í y = 1,25
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m Û m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ;	x - y = 2m ;	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
Cho hệ phương trình:
ìmx + 4 y = 9
î
íx + my = 8
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
38
m 2 - 4

= 3
 HD Giải:
Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m
Giải hệ phương trình theo m
¹ ± 2
ì y = 8m - 9
ìmx + 4 y = 9 Û ìmx + 4 y = 9
Û ì(m2 - 4) y = 8m - 9 Û ï
m 2 - 4
î
2
íx + my = 8
í
î
îmx + m y = 8m
íx + my = 8
í
ïx =
ïî
9m - 32
m 2 - 4
Thay x =
9m - 32
m2 - 4

; y =
8m - 9
m 2 - 4

vào hệ thức đã cho ta được:
2. 9m - 32
m2 - 4
+ 8m - 9 +
m 2 - 4
38	= 3
m 2 - 4
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
Û 3m2 – 26m + 23 = 0
Û m1 = 1 ; m2 = 23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
3
Vậy m = 1 ; m = 23
3
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
Cho hệ phương trình
ìmx + 4 y = 10 - m
î
íx + my = 4

(m là tham số)
2
Giải hệ phương trình khi m =
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
ì(m -1)x - my = 3m -1
î
í2x - y = m + 5
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3:
Cho hệ phương trình

ì3x + 2 y = 4
î
í2x - y = m
Giải hệ phương trình khi m = 5
Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4:
Cho hệ phương trình:
ìmx + 4 y = 9
î
íx + my = 8
Giải hệ phương trình khi m = 1
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
Cho hệ phương trình:

ìx + my = 9
î
ímx - 3y = 4
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
Bài 6:
Cho hệ phương trình:

x - 3y =
ìmx - y = 2
í
28	- 3
m2 + 3
î3x + my = 5
2
Giải hệ phương trình khi m =	.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
m2
hệ thức
Bài 7:
x + y = 1 -
m2 + 3 .
Cho hệ phương trình
ì3x - my = -9
í
îmx + 2 y = 16
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7