Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x
• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ MỤC TIÊU: Học sinh nắm được - Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ìax + by = c và cách giải îa í / x + b/ y = c / - Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản 1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ì3x - 2 y = 4 Û ì3x - 2(5 - 2x) = 4 í í î2x + y = 5 î y = 5 - 2x Û ì3x -10 + 4x = 4 Û ì7x = 14 í y = 5 - 2x í y = 5 - 2x î î Û ìx = 2 Û ìx = 2 í y = 5 - 2.2 í y = 1 î î Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ì3x - 2 y = 4 Û ì3x - 2 y = 4 Û ì7x = 14 í í í î2x + y = 5 î4x + 2 y = 10 î2x + y = 5 Û ìx = 2 Û ìx = 2 í .2 + y = 5 í y = 1 î2 î Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình í 1) ì4x - 2 y = 3 î6x - 3y = 5 2) ì2x + 3y = 5 í î4x + 6 y = 10 3) ì3x - 4 y + 2 = 0 í ï î5x + 2 y = 14 4) ì2x + 5 y = 3 í y î3x - 2 y = 14 5 ìïx - (1 + 3) y = 1 ì0,2x + 0,1y = 0,3 ì x = 2 5 5) í 6) í 7) í 3 ïî(1 - 3)x + y = 1 î3x + y = 5 ïîx + y - 10 = 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: í 1) ì(3x + 2)(2 y - 3) = 6xy î(4x + 5)( y - 5) = 4xy 2) ì2(x + y) + 3(x - y) = 4 í î(x + y) + 2(x - y) = 5 ï ì2 y - 5x + 5 = y + 27 - 2x 3) ì(2x - 3)(2 y + 4) = 4x( y - 3) + 54 4) ï 3 4 í î(x + 1)(3y - 3) = 3y(x + 1) -12 í x + 1 y = 6 y - 5x ì1 (x + 2)( y + 3) - 1 xy = 50 îï 3 7 2 ï 1 5) í ï ïî2 xy - 2 1 (x - 2)( y - 2) = 32 2 6) ì(x + 20)( y -1) = xy í î(x -10)( y + 1) = xy Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Bài tập: ì1 + 1 = 1 ì 2 + 1 = 3 ì 3x - 2 = 4 1) ï x y 12 2) ï x + 2 y y + 2x 3) ï x + 1 y + 4 í8 15 í 4 3 í 2x 5 ï + = 1 ïî x y ï - ïî x + 2 y y + 2x = 1 ï - x y ïî x + 1 y + 4 = 9 ìïx 2 + y 2 = 13 ìï3 + 2 = 16 ìï x + 4 y = 18 4) í ïî3x 2 - 2 y 2 = -6 5) í x y ïî2 - 3 = -11 6) í ïî3 x + y = 10 ìï2(x2 - 2x) + 7) í y + 1 = 0 ìï5 x -1 - 3 y + 2 = 7 4x2 - 8x + 4 y 2 + 4 y + 4 8) í ïî3(x2 - 2x) - 2 y + 1 = -7 ïî2 + 5 = 13 Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = Û b (1) Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm Nếu b ¹ 0 thì hệ vô nghiệm Nếu a ¹ 0 thì (1) Þ x = b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ a phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: ìmx - y = 2m(1) î í4x - my = m + 6(2) Từ (1) Þ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 Û (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) Nếu m2 – 4 ¹ 0 hay m ¹ ± 2 thì x = (2m + 3)(m - 2) = 2m + 3 Khi đó y = - m2 - 4 m . Hệ có nghiệm duy nhất: ( 2m + 3 ;- m + 2 m ) m + 2 m + 2 m + 2 Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x Î R Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m¹ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( 2m + 3 ;- m + 2 m ) m + 2 Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x Î R Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ìmx + y = 3m -1 î 1) íx + my = m + 1 ìx + my = 3m ìmx + 4 y = 10 - m î 2) íx + my = 4 î ìïx - my = 1 + m2 ì(m -1)x - my = 3m -1 î 3) í2x - y = m + 5 ì2x - y = 3 + 2m 4) í îmx - y = m2 - 2 5) íïmx + y = 1 + m2 6) í îmx + y = (m + 1)2 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số Viết x, y của hệ về dạng: n + k với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: í ìmx + 2 y = m + 1 î2x + my = 2m -1 HD Giải: í ìmx + 2 y = m + 1 Û ì2mx + 4 y = 2m + 2 î2x + my = 2m -1 í î2mx + m2 y = 2m2 - m Û ì(m2 - 4) y = 2m2 - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1) í î2x + my = 2m -1 để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ¹ 0 hay m ¹ ± 2 Vậy với m ¹ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ì y = (m - 2)(2m + 1) = 2m + 1 = 2 - 3 ï í ï ïx = î m2 - 4 m -1 = 1 - m + 2 3 m + 2 m + 2 m + 2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Î Ư(3) = {1;-1;3;-3} Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: îm ì(m + 1)x + 2 y = m -1 Bài 2: í 2 x - y = m2 2m Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) í ì2mx - (m + 1) y = m - n î(m + 2)x + 3ny = 2m - 3 HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(- b ) = 0 a = í 4 í ì 1 ì a b f ( ) 0 + - 3 = 0 ï Û ï 8 4 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11 ïî f (-3) = 0 ïî18a - 3b - 3 = 0 Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: ì f (2) = 6 Û ì4a + 2b = 2 Û ìa = -1 î îa = 3 îb í f (-1) = 0 Bài 3: í - b = -4 í Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình ì2a + b = 1 Û ìa = -1 î = 3 îb ía + b = 2 í Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: ì3x + 2 y = 4 Û ìx = 0,5 . Vậy M(0,2 ; 1,25) î î íx + 2 y = 3 í y = 1,25 Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m Û m = -0,85 Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước Cho hệ phương trình: ìmx + 4 y = 9 î íx + my = 8 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 m 2 - 4 = 3 HD Giải: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m Giải hệ phương trình theo m ¹ ± 2 ì y = 8m - 9 ìmx + 4 y = 9 Û ìmx + 4 y = 9 Û ì(m2 - 4) y = 8m - 9 Û ï m 2 - 4 î 2 íx + my = 8 í î îmx + m y = 8m íx + my = 8 í ïx = ïî 9m - 32 m 2 - 4 Thay x = 9m - 32 m2 - 4 ; y = 8m - 9 m 2 - 4 vào hệ thức đã cho ta được: 2. 9m - 32 m2 - 4 + 8m - 9 + m 2 - 4 38 = 3 m 2 - 4 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 Û 3m2 – 26m + 23 = 0 Û m1 = 1 ; m2 = 23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) 3 Vậy m = 1 ; m = 23 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hệ phương trình ìmx + 4 y = 10 - m î íx + my = 4 (m là tham số) 2 Giải hệ phương trình khi m = Giải và biện luận hệ phương trình theo m Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: Cho hệ phương trình : ì(m -1)x - my = 3m -1 î í2x - y = m + 5 Giải và biện luận hệ phương trình theo m Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hệ phương trình ì3x + 2 y = 4 î í2x - y = m Giải hệ phương trình khi m = 5 Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: Cho hệ phương trình: ìmx + 4 y = 9 î íx + my = 8 Giải hệ phương trình khi m = 1 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: ìx + my = 9 î ímx - 3y = 4 Giải hệ phương trình khi m = 3 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: Bài 6: Cho hệ phương trình: x - 3y = ìmx - y = 2 í 28 - 3 m2 + 3 î3x + my = 5 2 Giải hệ phương trình khi m = . Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn m2 hệ thức Bài 7: x + y = 1 - m2 + 3 . Cho hệ phương trình ì3x - my = -9 í îmx + 2 y = 16 Giải hệ phương trình khi m = 5 Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Tài liệu đính kèm: