Giáo án Toán 9 - Tuần 28, Chuyên đề: Phương trình quy về phương trình bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình

 TUẦN 28 (Tiết 55,56)
 CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ GIẢI BÀI 
 TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 (Thời lượng 2 tiết )
 Dạng 1 .Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
 1) Phương pháp chung:
 a)Phương trình trùng phương : ax4 bx2 c 0 (a 0)
 • Đặt t = x2( t 0) đưa về dạng : at2 bt c 0
 • Thay gia trị t 0vừa tìm được rồi suy ra x
 b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu : 
 • Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 • Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 • Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
 • Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện 
 xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
 c) Phương trình tích.
 • Đưa phương trình về dạng tích rồi áp dụng tính chất: A.B = 0  A = 0 hoặc B = 0
 • Giải hai phương trình A = 0 và B = 0 rồi suy ra nghiệm 
 2) Các ví dụ
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau
 a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 b) 5x4 + 2x2– 16 = 10 – x2
Lời giải
 a)Giải phương trình x 3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
 (1) (x2 – 2)(x + 3) = 0 (x+ 2 )(x– 2 )(x + 3) = 0
 x = – 2 ; x = 2 ; x = –3 
 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = – 2 ; x = 2 ; x = – 3
 b)Giải phương trình 5x 4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
 Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0
 Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0
 Xét = (–3)2 – 4.5.( –26) = 529.> 0 = 23
 ( 3) 23 13
 Nên: t1 = (thoả mãn t 0) ;
 2.5 5
 ( 3) 23
 t2 = 2 (loại)
 2.5
 13 13 13
 Với t = x2 = x = 
 5 5 5 13 13
 Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 = 
 5 5
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau
 2x x2 x 8
 a) b) (x2+ x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0
 x 1 (x 1)(x 4)
Lời giải
 2x x2 x 8
 a)Giải phương trình (2)
 x 1 (x 1)(x 4)
 Với ĐK: x ≠ – 1; x ≠ 4 thì 
 (2) 2x(x –`4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
 Do a – b + c = 1– (–7) + (–8) = 0  phương trình (*) có nghiệm x1 = –1(không thoả 
 mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
 Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
 b) Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0 (4)
 Đặt x2 + x = t . Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
 1
 Do a + b + c = 3 + (– 2) + (– 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 
 3
 2 2 
 t1 = 1 x +x = 1 x + x – 1 = 0 
 2 1 5 1 5
 1 = 1 – 4.1.( –1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 =
 2 2
 1 2 1 2 
 t2 = x +x = 3x + 3x + 1 = 0 (*)
 3 3
 2 
 2 = 3 – 4.3.1 = –3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm 
 1 5 1 5
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
 2 2
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình: (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.
 A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô nghiệm
 Đáp án: A
 1 1
Ví dụ 3: Phương trình 2 
 x x 1
 A. có 1 nghiệm B. vô nghiệm C. có hai nghiệm hữu tỉ D. có hai 
nghiệm vô tỉ
Đáp án: B
Dạng 1. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
 1) Phương pháp chung:
 • Nếu hai số a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghiệm của phương trình: 
 x2 Sx P 0 (Điều kiện để có a và b : S2 4P 0 ) • Giải phương trình x2 Sx P 0 để tìm nghiệm 
 2) Các ví dụ:
Ví dụ 1:Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
 a) x + y = 7 và xy = 72
 b) x + y = 12 và xy = 35
Lời giải 
 a) Ta có: S 2 4P 72 4.72 239 0
 Vậy không có giá trị x và y nào thỏa mãn x + y = 7 và xy = 72
 b) Ta có: S 2 4P ( 12)2 4.( 35) 284 0
  x và y là hai nghiệm của phương trình: X2 + 12X – 35 = 0 (*)
 Giải phương trình (*) ta được X1 = 6 71 ; X2 = 6 71
 Vậy x = 6 71 ; y = 6 71 hoặc x = 6 71 ; y = 6 71
Ví dụ 2:Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
 a) x2 + y2 = 80 và xy = 32
 b) x y = 10 và xy = 21
Lời giải 
 x y 4
 2 2 2 2 
 a) Ta có: x + y = 80  (x y) 2xy 80 (x y) 2( 32) 80 
 x y 4
 - Ứng với trường hợp x + y = – 4 và xy = 32. Ta có: 
 S 2 4P ( 4)2 4.( 32) 144 0
  x; y là nghiệm của phương trình X 2 4X 32 0 (*)
 Giải phương trình (*) ta được X1 = 4 ; X2 = – 8 
 Vậy x = 4 ; y = – 8 hoặc x = – 8 ; y = 4
 - Ứng với trường hợp x + y = 4 và xy = 32. Ta có: S 2 4P 42 4.( 32) 144 0
  x; y là nghiệm của phương trình X 2 4X 32 0 (*)
 Giải phương trình (*) ta được X1 = – 4 ; X2 = 8 
 Vậy x = – 4 ; y = 8 hoặc x = 8 ; y = – 4
Ví dụ 3:Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ?
 A. x2 – 3x + 10 = 0 B. 2x2 – 6x + 1 = 0 C. –x2 + 3x – 5 = 0 D. x2 + 2x + 1 = 0
 Đáp án: A, B, C
 2
Ví dụ 4:Cho phương trình 0,1x – 0,6x – 0,8 = 0. Khi đó x1 + x2 ; và x1x2 là :
 A. x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = 8 B. x1 + x2 = 6; x1.x2 = – 8
 C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8 D. Kết quả khác
 Đáp án: B Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm, có nghiệm 
 kép, vô nghiệm.
 1) Phương pháp chung:
 • Xét trường hợp a = 0, phương trình ax2 bx c 0 trở thành bx c 0 bx c 
 (*)
 Nếu b = 0 và c = 0 Phương trình (*) có vô số nghiệm
 Nếu b = 0 và c 0  Phương trình (*) có vô nghiệm
 Nếu b 0  Phương trình (*) có một nghiệm nghiệm
 • Xét trường hợp a 0, lập biệt thức hoặc ’
 Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm ) 0 hoặc ’ 0  m
 Vô nghiệm < 0 hoặc ’ < 0  m
 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0 hoặc ’ = 0  m
 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0 hoặc ’ > 0  m
 • Kết luận: 
 2) Các ví dụ
Ví dụ 1:Giải phương trình (giải và biện luận): x2 – 2x + k = 0 (tham số k)
Lời giải
 Ta có: ’ = (–1)2 – 1.k = 1 – k
 Nếu ’ 1 phương trình vô nghiệm
 ’
 Nếu = 0 1 – k = 0 k = 1 phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
 Nếu ’> 0 1 – k > 0 k < 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1 = 1– 1 k ; x2 = 1+ 1 k
 Kết luận: 
 Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
 Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 – 1 k ; x2 = 1+ 1 k
Ví dụ 2:Cho phương trình (m – 1)x2 + 2x – 3 = 0 (1) (tham số m)
 a) Tìm m để (1) có nghiệm
 b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
 c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có)?
Lời giải
 3
 a) + Nếu m – 1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 x = (là nghiệm) 
 2
 + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12– (–3)(m – 1) = 3m – 2
 2
 (1) có nghiệm ’ = 3m – 2 0 m 
 3 2
 + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m thì phương trình có nghiệm
 3
 3
 b) + Nếu m – 1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 x = (là nghiệm) 
 2
 + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1– (– 3)(m – 1) = 3m – 2
 2
 (1) có nghiệm duy nhất ’ = 3m – 2 = 0 m = (thoả mãn m ≠ 1)
 3
 1 1
 Khi đó x = 3
 2
 m 1 1
 3
 3
 + Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 
 2
 2
 với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
 3
 c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
 3
 (m – 1)22 + 2.2 – 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 
 4
 3 1
 Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m – 1 = – 1= ≠ 0)
 4 4
 3 3
 Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 12 x 6
 m 1 1 2
 4
 3
 Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
 4
Ví dụ 3:Cho phương trình x4 2 m 2 x2 m2 8 0 (1)
 Tìm giá trị của m để phương trình có: 
 a) bốn nghiệm phân biệt
 b) hai nghiệm phân biệt
 c) ba nghiệm phân biệt 
 d) một nghiệm
 e) vô nghiệm
Giải:
 Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó (1) t2 2 m 2 t m2 8 0 (2)
 Ta có ' m 2 2 m2 8 4 m 3 ; S 2 2 m ; P m2 8
 a) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương 
 phân biệt ' 0 4 m 3 0 m 3
 2 
 P 0 m 8 0 m 2 2  m 2 2 m 2 2
 S 0 m 2
 2 2 m 0 
 b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có một nghiệm dương và 
 một nghiệm bằng 0
 ' 0 4 m 3 0 m 3
 2 
 P 0 m 8 0 m 2 2  m 2 2 m 2 2
 S 0 m 2
 2 2 m 0 
 c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm kép dương 
 hoặc hai nghiệm trái dấu.
 ' 0 m 3
 hoặc P < 0 hoặc 2 2 m 2 2 2 2 m 2 2
 S 0 m 2
 d) Phương trình (1) có một nghiệm phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc hai 
 nghiệm gồm một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm
 ' 0 P 0 m 3 m 2 2
 hoặc hoặc m = 2 2
 S 0 S 0 m 2 m 2
 e) Phương trình (1) có vô nghiệm phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều 
 âm
 ' 0
 m 3
 ' 0 hoặc P 0 m 3 hoặc hoặc 2 2 m 3 m 2 2
 m 2
 S 0
Ví dụ 4:Phương trình mx2 – 4x – 5 = 0 ( m ≠ 0) có nghiệm khi và chỉ khi
 5 5 4 4
 A. m và m 0 B. m và m 0 C. m và m 0 D. m và m 0
 4 4 5 5
 Đáp án: C
Ví dụ 5: Giá trị của m để phương trình : mx 2 – (2m – 1)x + m +2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 
là :
 1 1 1 1
 A. m C. m D. m và m 0
 12 12 12 12
 Đáp án: D
Dạng 3. Tìm tham số m khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương 
 hoặc cùng âm, hai nghiệm đối nhau, hai nghiệm nghịch đảo nhau)
 1) Phương pháp chung:
 • Lập biệt thức  hoặc ’ b
 • Dựa vào định lý Vi-et tính tổng và tích của hai nghiệm (S = x1+ x2 = ; P = 
 a
 c
 x1.x2 = ) 
 a
 • Từ ĐK đã cho và hệ thức Vi-ét tìm ra tham số m 
 ➢ Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0  m
 ➢ Phương trình hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0  m
 ➢ Phương trình hai nghiệm dương (lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0  m
 ➢ Phương trình hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) 0; S 0 m
 ➢ Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
 ➢ Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1  m
 2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Lời giải
 2
 1 15
 a) Ta có: ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = (m – 1)2 + 3 + m = m 
 2 4
 2
 1 15
 Do m 0 với mọi m; 0 > 0 với mọi m
 2 4
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
 Hay phương trình luôn có nghiệm (đpcm)
 b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c – 3 
 Vậy m > – 3
 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1.x2 = – (m + 3)
 Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S 0
 2(m 1) 0 m 1
 m 3
 (m 3) 0 m 3
 Vậy m < – 3
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 2x + m – 1= 0 ( m là tham số)
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Lời giải
 a) Ta có ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 ' 0 2 m 0 m 2
 m 2
 P 1 m 1 1 m 2
 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
 b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  m – 1 < 0  m < 1
 Vậy m < 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
 A. m > 1 B. m –1 hoặc m < 1 D. m 1
 Đáp án: C
Ví dụ 3: Giá trị của m để phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm cùng âm là:
 9 9
 A. m B. m > 0 C. m > 0 và m D. m < 0
 4 4
 Đáp án: C
 Dạng 2 .Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 1) Phương pháp 
 chung
 Bước 1: Lập hệ phương trình
 - Chọn hai ẩn và đặt 
 điều kiện thích hợp cho chúng
 - Biểu diễn các đại 
 lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết
 - Lập hai phương 
 trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
 Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên
 Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào 
 thích hợp với vài toán và kết luận
 2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của 
tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
 Phân tích đề bài
 x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: x 4 )
 25
 Đổi đơn vị: 8h20' h
 3
 Vận tốc Thời gian Quãng đường 80
 Đi xuôi dòng x 4 80
 x 4
 80
 Đi ngược dòng x 4 80
 x 4
 80 80 25
 Phương trình : 
 x 4 x 4 3
Lời giải. 
 Gọi x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: x 4 )
 Vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng: x 4 (km/h)
 Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng: x 4 (km/h)
 80
 Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng: (km/h)
 x 4
 80
 Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng: (km/h)
 x 4
 25 80 80 25
 Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h20' h nên ta có phương trình: (1)
 3 x 4 x 4 3
 (1) 3.80(x 4) 3.80(x 4) 25(x 4)(x 4)
 5x2 96x 80 0 (*)
 4
 Giải phương trình (*) ta được x 20; x (loại)
 1 2 5
 Vậy vận tốc của tàu thủy là: x 20 km / h 
Ví dụ 2: Một ca nô đi xuôi dòng nước từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ đi từ bến 
A dọc theo bờ sông về hướng B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay trở lại và gặp người đi bộ 
tại địa điểm C cách bến A 18km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của 
người đi bộ và vận tốc dòng nước đều bằng 4km/h.
 Phân tích đề bài
 x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: x 4 )
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 24
 Đi xuôi x 4 24
 x 4
 Cano
 6
 Đi ngược x 4 24 18 6
 x 4
 18
 Người đi bộ 4 h 18
 4
 24 6 18
 PT: 
 x 4 x 4 4
Lời giải. Gọi x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: x 4 )
 Vận tốc của cano khi xuôi dòng: x 4 (km/h)
 Vận tốc của cano khi ngược dòng: x 4 (km/h)
 24
 Thời gian của cano khi xuôi dòng: (km/h)
 x 4
 6
 Thời gian của cano khi ngược dòng: (km/h)
 x 4
 24 6 18
 Theo đề ta có phương trình: (1)
 x 4 x 4 4
 (1) 4.24(x 4) 4.6(x 4) 18(x 4)(x 4)
 18x2 120x 0 (*)
 20
 Giải phương trình (*) ta được x ; x 0 (loại)
 3
 20
Vậy vận tốc của tàu thủy là: x (km / h)
 3
Ví dụ 3:Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, được bao bọc bằng x 
mét hàng rào. Diện tích khu vườn tính theo x là:
 3x2 3x2 3x2 3x2
 A. B. C. D. 
 8 16 32 64
 Đáp án: D
Ví dụ 4:Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A và một ôtô đi 
từ B. Xe máy và ôtô cặp nhau tại điểm C cách A 120km. Nếu xe máy khởi hành sau ôtô 1h thì sẽ 
gặp nhau ở điểm D cách C 24km. Khi đó vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là:
 A. 40 km/h và 60 km/h B. 60 km/h và 40 km/h 
 C. 50 km/h và 60km/h D. 50 km/h và 40 km/h
 Đáp án: B
TL 5.1Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi 
 1
 được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn 
 3
 lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B 
 sớm hơn dự định 24 phút.
TL 5.2Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó 
 nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể 
 từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến 
 B.
TL 5.3Một người dự định đi xe đạp từ địa điểm A tới địa điểm B cách nhau 36km trong một thời 
 gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hạn, người đó đã tăng thêm vận tốc 2km trên quãng đường còn lại. 
 Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.
TL 5.4Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . 
 Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B 
 đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
 2
TL 5.5Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định. Khi đi được 
 3
 quãng đường AB, người đó dừng xe nghỉ 12 phút. Để đảm bảo đến B đúng thời gian dự 
 định, người đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự 
 định của người đi xe máy đó.
TL 5.1
 2
Hướng dẫn: Đổi 24 phút = (giờ)
 5
 S (km) V (km/h) T (h)
 120
 Dự định 120 x
 x
 40
 Thực tế 1 40 x
 x
 80
 Thực tế 2 80 x + 10
 x 10
 40 80
 Thời gian xe lăn bánh là 
 x x 10
 120 40 80 2 2
 Phương trình: x 10x 2000 0
 x x x 10 5
 Giải phương trình trên ta được: x = 40 ; x = –50 (loại)
 Vậy vận tốc dự định của xe máy là : 40km/h
TL 5.2
 1
Hướng dẫn: Đổi 30 phút = (giờ)
 2
 S (km) V (km/h) T (h)
 90
 Lúc đi 90 x
 x
 1
 Nghỉ tại B
 2
 90
 Lúc về 90 x + 9
 x 9
 90 90 1
 Phương trình: 5 x2 31x 180 0
 x x 9 2
 Giải phương trình trên ta được: x = 36 ; x = – 5 (loại)
 Vậy vận tốc của xe máy là 36 (km/h) TL 5.3
 3
Hướng dẫn: Đổi đơn vị: 18 phút = giờ Điều kiện: x 0
 10
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 36
 Dự định x 36
 x
 18
 x 18
 x
 Thực tế
 18
 x 2 18
 x 2
 36 18 18 3
 PT: x 10 km / h 
 x x x 2 10
 Vậy vận tốc ban đầu là 10 km / h . 
 18 18
 Thời gian xe lăn bánh trên đường là 3.3 h 
 10 12
TL 5.4
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 120
 Dự định x 120
 x
 x 1 x
 Thực tế 120 x
 x 6 120 x
 x 6
 120 120 x 1
 PT: 1 x 48 km / h 
 x x 6 6
 Vậy vận tốc của ô tô là 48 (km/h)
TL 5.5
 1
Đổi đơn vị: 12 phút = giờ. Điều kiện: x 0
 5
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Dự định x 120 120
 x
 Thực tế x 80 80
 x x 10 40 40
 x 10
 120 80 40 1
PT: x 40 km / h 
 x x x 10 5
Vậy vân tốc của người đi xe máy là: 40 (km/h)