Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2? + cos2? = 1

1) Phương pháp:

a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt

???

= α

= α

y cos

x sin

với α [0, 2π]

b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt

???

= =

?

?

cos

sin

y r

x r

với α [0, 2π]

2. Các ví dụ minh hoạ:

VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1

Chứng minh rằng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2

 

pdf 14 trang Người đăng minhquan88 Lượt xem 1444Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
G.NTH
1
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+ 1sincos 22 =α+α + 1 + tg2α = )k
2
(
cos
1
2 pi+
pi
≠α
α
+ tgα . cotgα = 1 (α ≠
2
kpi ) + 1 + cotg2α = )k(
sin
1
2 pi≠αα
1.2. Công thức cộng góc
+ cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ
+ sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
+ tg (α ± β) = )k
2
;(
tgtg1
tgtg
pi+
pi
≠βαβα
β±α

+ cotg(α ± β) = β±α
βα
gcotgcot
1gcot.gcot  )k;( pi≠βα
1.3. Công thức nhân
+ sin2α = 2 sinα cosα
+ cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
+ tg2α = )
2
k
4
(
tg1
tg2
2
pi
+
pi
≠α
α−
α
+ cotg2α = )
2
k(
gcot2
1gcot 2 pi
≠α
α
−α
+ sin3α = 3sinα - 4sin3α
+ cos3α = 4cos3α - 3cosα
+ tg3α =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3
3 pi
+
pi
≠α
α−
α−α )
1.4. Công thức hạ bậc
+ cos2α =
2
2cos1 α+ + sin2α =
2
2cos1 α−
+ tg2α =
α+
α−
2cos1
2cos1 )k
2
( pi+pi≠α
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cosα + cosβ = 2cos
2
cos
2
β−αβ+α
+ cosα - cosβ = - 2sin
22
βαβα sin+
+ sinα + sinβ = 2sin
22
βαβα cos+
+ sinα - sinβ = = - 2cos
2
sin
2
β−αβ+α
G.NTH
2
+ tgα ± tgβ = βα
β±α
cos.cos
)sin( )k
2
;( pi+pi≠βα
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cosα.cosβ = )]cos()[cos(
2
1 β−α+β+α
+ sinα.sinβ = )]cos()[cos(
2
1 β+α+β−α
+ sinα.cosβ = )]sin()[sin(
2
1 β−α+β+α
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giáctương tự Công thức lượng giác
1 + x2 1 + tan2t 1+tan2t =
tcos
1
2
4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t
2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t
2x1
x2
−
t
t
2tan1
tan2
− t
t
2tan1
tan2
−
= tan2t
2x1
x2
+ t
t
2tan1
tan2
+ t
t
2tan1
tan2
+
= sin2t
xy1
yx
−
+


tantan1
tantan
−
+


tantan1
tantan
−
+ = tan(α+β)
x2 - 1 1
cos
1
2 −α
1
cos
1
2 −α
= tan2α
... .... ......
một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2 + cos2 = 1
1) Phương pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt 

α=
α=
cosy
sinx với α ∈ [0, 2pi]
b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt 

=
=


cos
sin
ry
rx với α ∈ [0, 2pi]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: ≤− 2 a(c+d) + b(c-d) ≤ 2
G.NTH
3
Giải:
Đặt 

=
=
ub
ua
cos
sin và 

=
=
vcosd
vsinc
⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
⇔ 2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S ≤−++=≤−⇒−∈

 pi
−+= (đpcm)
VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1b
a
1
a
2
2
2
2
2
2 ≥


++


+
Giải:
Đặt a = cosα và b = sinα với 0 ≤ α ≤ 2pi. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1b
a
1
a 


α
+α+


α
+α=


++


+
= cos4α + sin4α + 4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44
44 +αα
α+α
+α+α=+
α
+
α
= ( ) 4
sin.cos
11sincos 44
44 +


αα
+α+α
= ( )[ ] 4
sin.cos
11sincos2sincos 44
2222 +


αα
+αα−α+α
=
2
254
2
174)161(
2
114
2sin
1612sin
2
11 4
2
=+=++


−≥+


α
+


α− (đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ≤−+−++−+−
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1
Đặt αα+α−α=⇒

α+=
α+=
⇒

α=−
α=−
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a 22
A 2)
6
2sin(22cos
2
12sin
2
322cos2sin3 ≤pi−α=α−α=α−α= (đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn : 712b5a ++ = 13
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1
Đặt 

α=+
α=−
cosR1b
sinR1a với R ≥ 0 ⇔ 222 R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++−⇔

−α=
+α=
Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+−α++α⇔=++
⇔ R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5R113cosR12sinR5 ≤


+α=α+α=⇔=α+α
Từ đó ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (đpcm)
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| ≤α≤α
1. Phương pháp:
a) Nếu thấy |x| ≤ 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
  
  
  
= ∈ −    = ∈
b) Nếu thấy |x| ≤ m ( 0m ≥ ) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
  
  
  
= ∈ −    = ∈
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p+ (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1.
Giải:
Đặt x = cosα với α ∈ [0, pi], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p
= p22pp2p2p
p
2
p
2 2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =

 α
+
α≤

 α
+
α
=

 α
+

 α
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:
2
2313
2
23 22 +≤−+≤− xxx
Giải:
Từ đk 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nên
Đặt x = cosα với 0 ≤ α ≤ pi ⇒ 21 x− = sinα. Khi đó ta có:
P=  2sin)2cos1(3sincos2cos321232 222 ++=+=−+ xxx
G.NTH
5
= 3
3
2sin232sin
2
12cos
2
32 +

 pi
+α=+


α+α 2323 +≤≤−⇒ A (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+
Giải:
Từ đk |a| ≤ 1 nên
Đặt a=cosα với α∈[0,pi] ⇒ α=−α=+α=− sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1 2
(1)⇔
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21 33 αα+≤

 α
−
ααα
+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin 22 αα+≤

 α
+
αα
+
α

 α
−
α

 α
+
α
⇔ 1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin 22 ≤α=α−α=

 α
−
α

 α
+
α đúng ⇒ (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a(
Giải:
Từ đk |a| ≤ 1 nên:
Đặt a = cosα với α ∈ [0, pi] ⇒ 2a1− = sinα. Khi đó biến đổi S ta có:
S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α
= 2
4
3sin23cos3sin ≤

 pi
+α=α+α ⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nên.
Đặt a = sinα, b = sin β với α, β ∈ 

 pipi
−
2
;
2
Khi đó A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα =
= 2
3
)(sin2)cos(
2
3)sin(
2
12)cos(3)sin( ≤

 pi
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
G.NTH
6
Giải:
Do a ∈ [1, 3] nên |a-2| ≤ 1 nên ta đặt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta có:
A = 13342624522424 323 ≤α=α−α=−α++α+−α+ coscoscos)cos()cos()cos(
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 22 3 3 2 [0, 2]a a a a− − + ≤ ∀ ∈
Giải:
Do a ∈ [0, 2] nên |a-1| ≤ 1 nên ta đặt a - 1 = cosα với α ∈ [0, pi]. Ta có:
A = α−α−=+α+−α−−α+ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22
= 2
3
sin2cos
2
3
sin
2
12cos3sin ≤

 pi
+α=



α−α=α−α (đpcm)
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = 1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2 −α
=α⇔
α
)k( pi+pi≠α
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x| ≥ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x2 −
thì đặt x =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| ≥ m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx −
thì đặt x =
αcos
m với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1a a
a
− + ≤ ∀ ≥
Giải:
Do |a| ≥ 1 nên :
Đặt a =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó:
A = 2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a2 ≤

 pi
+α=α+α=α+α=
+− (đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 ≤ A = 2
2
a
1a125 −− ≤ 9 1a∀ ≥
Giải:
G.NTH
7
Do |a| ≥ 1 nên:
Đặt a =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó:
A = 2
2
a
1a125 −− = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= α−α+ 2sin6
2
)2cos1(5
= 


+α+=


α−α+
13
5
arccos2cos
2
13
2
52sin
13
122cos
13
5
2
13
2
5
⇒ - 4 = 91.
2
13
2
5
13
5
arccos2cos
2
13
2
5A)1(
2
13
2
5
=+≤


+α+=≤−+ (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1b1a 22 −+− ≤ 1 ; 1a b∀ ≥
Giải:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên .
Đặt a =
αcos
1 ; b = βcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 . Khi đó ta có:
A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 22
1a
a
2
≥
−
1a∀ >
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
αcos
1 với α∈
α
=
αα
=
−
⇒

 pi
sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
;0
22
. Khi đó:
a+ 22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2
≥
α
=
αα
≥
α
+
α
=
−
(đpcm)
VD5: Chứng minh rằng 26xy31y41xy 22 ≤+−+− ; 1x y∀ ≥
Giải:
Bất đẳng thức ⇔ )(yy
y
xx
x 12631411
22
≤



+
−
+
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nên Đặt x =
αcos
1 ; y= βcos
1 với α, β∈ 

 pi
2
,0 .
G.NTH
8
Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26
Ta có: S ≤ sinα + cosα α+α=β+β+ cos5sin)cos)(sin34( 2222
≤ 2 2 2 2(1 5 )(sin cos ) 26 + + = ⇒ (đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 =
α2cos
1
1. Phương pháp:
a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S = 1
1
4
1
3
32
3
2
≤
+
−
+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
⇒
α
=+ cosx
11 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22
42
)a21(
a12a83
+
++
Giải:
Đặt a 2 = tgα với α 

 pipi
−∈
22
, thì ta có: A = 22
42
)tg1(
tg3tg43
α+
α+α+
= αα−α+α=
α+α
α+αα+α 22222
222
4224
cossin2)cos(sin3)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 - 3
2
02
2
2sin3A
2
13
2
5
2
2sin 22
=−≤α−=≤−=⇒α
Với α = 0 ⇒ a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α =
4
pi
⇒ a = 2
1 thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22 ≤++
−+ ∀ a, b ∈ R
Giải:
G.NTH
9
Đặt a = tgα, b = tgβ. Khi đó )tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
β+α+
βα−β+α
=
++
−+
2222 11
1
11
1
= βα
βα−βα
βα
β+αβα
cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos 22
= [ ]
2
12
2
1 ≤β+α=β+αβ+α )(sin)cos()sin( (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
∀
++
−≥
++
−
+
++
−
Giải:
Đặt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi đó bất đẳng thức ⇔
⇔
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222 α+γ+
α−γ≥
γ+β+
γ−β
+
β+α+
β−α
⇔
αγ
α−γ
αγ≥
γβ
γ−βγβ+βα
β−αβα
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤
|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|
≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >∀++≤+
Giải:
(1) ⇔ 1
d
b1
a
c1
ab
cd
d
b1
a
c1
11)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab ≤



+


+
+



+


+
⇔≤
++
+
++
Đặt tg2α=
a
c , tg2β=
b
d với α,β ∈ 

 pi
2
,0 ⇒ Biến đổi bất đẳng thức
⇔ 1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1 2222
22
22
22
≤βα+βα=
β+α+
βα
+
β+α+
⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 đúng ⇒ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
−+
G.NTH
10
Giải:
Đặt a = tg
2
α . Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
.4
2
tg1
2
tg2
.3
1
2
tg
|1
2
tg|4
2
tg6
2
2
22
2
+
α
−
α
+
α
+
α
=
+
α
−
α
+
α
A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5
Với sinα = 1 ⇔ a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
|cos|
3
sin α
=
α thì MaxA = 5
V. Dạng 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1) Phương pháp:
a) Nếu


=+++
>
12
0
222 xyzzyx
z;y;x thì



===
pi
∈
∆∃
Ccosz;Bcosy;Acosx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
b) Nếu 

=++
>
xyzzyx
z;y;x 0 thì



===
pi
∈
∆∃
tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu 

=++
>
1zxyzxy
0z,y;x thì









===
pi∈



===
pi
∈
∆∃
2
C
tgz;
2
B
tgy;
2
A
tgx
);0(C;B;A
gCcotz;gBcoty;gAcotx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S = )zyx(3
z
1
y
1
x
1
++−++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β ; z = tg
2
γ với α, β, γ ∈ 

 pi
2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
β tg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
G.NTH
11
⇔ tg
2
α 

 γ
+
β
2
tg
2
tg = 1 -
2
tg β tg
2
γ
⇔
2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg
2
tg α
=

 γ
+
β
⇔
α
=γβ
−
γ
+
β
⇔ pi=γ+β+α⇔pi=γ+β+α⇔α−pi=γ+β⇔

 α
+
pi
=

 γ
+
β
2222222222
tgtg
S = )zyx(3
z
1
y
1
x
1
++−++ = cotg
2
α + cotg
2
β + cotg
2
γ -3 

 γ
+
β
+
α
2
tg
2
tg
2
tg
S = 

 γ
+
β
+
α
−

 γ
−
γ
+

 β
−
β
+

 α
−
α
222
2
222222
tgtgtgtggcottggcottggcot
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 

 γ
+
β
+
α
222
2 tgtgtg
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ ) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α ) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β )
Để ý rằng: cotgα + cotgβ = )cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
β+α−β−α
γ
=βα
γ
=βα
β+α 2
2
2
≥ 0
2
tg2gcotgcot
2
tg2
2
cos2
2
cos
2
sin4
cos1
sin2
)cos(1
sin2
2
≥γ−β+α⇒γ=γ
γγ
=
γ+
γ
=β+α−
γ
T đó suy ra S ≥ 0. Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và )z1)(y1()x1(
xyz4
z1
z
y1
y
x1
x
222222
−−−
=
−
+
−
+
−
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β ; z = tg
2
γ với α, β, γ ∈ 

 pi
2
,0
Khi đó tgα = 2x1
x2
−
; tgβ = 2y1
y2
−
; tgγ = 2z1
z2
−
và đẳng thức ở giả thiết
⇔ 2x1
x2
−
+ 2y1
y2
−
+ 2z1
z2
−
= )z1)(y1()x1(
xyz8
222
−−−
⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ
G.NTH
12
⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ βα−
β+α
tg.tg1
tgtg = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ)
Do α, β, γ ∈ 

 pi
2
,0 nên α + β = pi - γ ⇔ α + β + γ = pi. Khi đó ta có:
tg
2
α tg
2
β + tg
2
β tg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. Mặt khác:
(x2+ y2 + z2) - (xy + yz + zx) =
2
1 [ ] 0)xz()zy()yx( 222 ≥−+−+−
⇒ S = x2+ y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 1
VD3: Cho 

=++
>
1zyx
0z,y,x . Chứng minh rằng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x ≤
+
+
+
+
+
Giải:
Đặt
2
tg
x
yz α
= ;
2
tg
y
xz β
= ;
2
tg
z
xy γ
= với α, β, γ ∈ 

 pi
2
,0
Do
x
yz
.
z
xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz
++ = x + y + z = 1
nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
β tg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
⇔ tg 

 γ
+
β
22
= cotg
2
α
⇔ tg 

 γ
+
β
22
= tg 

 α
−
pi
22
⇔
2
β +
2
γ =
2
pi -
2
α
⇔ pi=γ+β+α⇔pi=γ+β+α
22
S =
2
31
xyz
z21
zxy
y21
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy
y
yzx
x
+





−
+
+


−
+
+


−
+
=
+
+
+
+
+
=
2
3
z
xy1
z
xy1
y
zx1
y
zx1
x
yz1
x
yz1
2
1
2
3
xyz
xyz
zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+








+
−
+
+
−
+
+
−
=+


+
−
+
+
−
+
−
−
=
2
1 (cos + cosβ + cosγ) +
2
3 = ( )[ ]
2
31
2
1
+β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos
G.NTH
13
≤ ( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2
1)1cos(cos
2
1
2
1 222
=+=+

 βα−β+α++β+α (đpcm)
3. Các bài toán đưa ra trắc nghiệm
Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em
chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau:
Bài 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13.
Bài 2:Cho (a-2)2+ (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10.
Bài 3:Cho 

=+
≥
2ba
0b;a CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3
Bài 4:Cho a; b ; c ≥ 1 CMR: 


−


−


−≥


−


−


−
c
1
c
b
1b
a
1
a
a
1
c
c
1b
b
1
a
Bài 5:Cho


=+++
>
1xyz2zyx
0z;y;x
222 CMR:
a) xyz ≤
8
1
b) xy + yz + zx ≤
4
3
c) x2 + y2 + z2 ≥
4
3
d) xy + yz + zx ≤ 2xyz +
2
1
e) 3
z1
z1
y1
y1
x1
x1 ≥
+
−
+
+
−
+
+
−
Bài 6:CMR:
ab1
2
b1
1
a1
1
22 +
≤
+
+
+
∀ a, b ∈ (0, 1]
Bài 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2
33
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
222 ≥
−
+
−
+
−

=++
>
Bài 9:Cho
2
3
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
xyzzyx
0z,y,x
222
≤
+
+
+
+
+

=++
>
G.NTH
14
Bài 10: Cho
222222 z1
z2
y1
y2
x1
x2
z1
1
y1
1
x1
1
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+

=++
>

Tài liệu đính kèm:

  • pdfBDT.pdf