Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề - Chứng minh tứ giác nội tiếp

Chñ ®Ò §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
	-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
	-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.
	-Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.
	-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó )
	-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó )
	-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; 
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”
D¹ng V
Bµi tËp H×nh tæng hîp
C©u IV(3,5®): HN
	Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). 
1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2.
3/ Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O;R) lÊy ®iÓm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q. Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC.
4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Chøng minh PM + QN ≥ MN.
C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50. §êng ph©n gi¸c cña gãc ABC vµ ®êng trung trùc cña c¹nh AC c¾t nhau t¹i E.
1. Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn nµy.
2. TÝnh BE.
3. VÏ ®êng kÝnh EF cña ®êng trßn t©m (O). AE vµ BF c¾t nhau t¹i P. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy.
4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE.
Bµi 4: (2,75®) hue
 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ tiÕp tuyÕn d víi ®êng trßn (O) t¹i B. Gäi C vµ D lµ hai ®iÓm tuú ý trªn tiÕp tuyÕn d sao cho B n»m gi÷a C vµ D. C¸c tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lît t¹i E vµ F (E, F kh¸c A). 
1. Chøng minh: CB2 = CA.CE
2. Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m (O’).
3. Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®æi. TiÕp tuyÕn cña (O’) kÎ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T. Khi C hoÆc D di ®éng trªn d th× ®iÓm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo?
C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) cã t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.
b) VÏ ®êng kÝnh AK cña ®êng trßn (O). Chøng minh tam gi¸c ABD vµ tam gi¸c AKC ®ång d¹ng víi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD vµ S = .
c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.
d) Chøngminh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S.
Baøi 4: (4,00 ñieåm) KH
Cho ñöôøng troøn (O; R). Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O; R) veõ hai tieáp tuyeán MA vaø MB (A, B laø hai tieáp ñieåm). Laáy ñieåm C baát kì treân cung nhoû AB (Ckhaùc vôùi A vaø B). Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa C treân AB, AM, BM.
Chöùng minh AECD laø moät töù giaùc noäi tieáp.
Chöùng minh: 
Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB vaø DF. Chöùng minh IK//AB.
Xaùc ñònh vò trí ñieåm C treân cung nhoû AB ñeå (AC2 + CB2) nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM = 2R.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK không trùng CD)
Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật
Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H
Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.
Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G và H khi diện tích tam giác DỊJ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3 điểm) BÌNH ĐỊNH
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.
a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tính tỉ số 
Baøi 4: (3,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
	Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Keùo daøi AC (veà phía C) ñoaïn CD sao cho CD = AC.
Chöùng minh tam giaùc ABD caân.
Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AC taïi A caét ñöôøng troøn (O) taïi E. Keùo daøi AE (veà phía E) ñoaïn EF sao cho EF = AE. Chöùng minh raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng.
Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A, D, F tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (O).
Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM
	Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H.
Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).
Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Bµi 3. nam ®Þnh ( 3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t ®êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H nlµ trung ®iÓm cña BC.
Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO.
§êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: 
Gãc AHN = gãc BDN
§êng th¼ng DH song song víi ®êng th¼ng MC.
HB + HD > CD
C©u IV: (3,0®). NghÖ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F.
1. Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.
2. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn.
3. Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 5. (3,0 ®iÓm) QUẢNG NINH
Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm).
Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp.
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm.
 KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED.
Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHÒNG
Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K .
1.Chứng minh .
2.Chứng minh K là trung điểm của DE.
3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH.
Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M.
Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân .
Tính tích AM.AD theo R .
Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O) .
Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG
 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng :
 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.
 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.
 3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R2.
Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.
Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BÌNH
	Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.
	1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
	2. Tính ;
	3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;
	4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh .
Câu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC
Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)
a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này.
b, Chứng minh .
c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất.
Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓA
Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.
1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.
2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra .
3. Đặt Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và a. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc a.
Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC 
Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được 
Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này 
Bµi 4: (3,0 ®iÓm) hƯng yªn
	Cho A lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi B lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua A. KÎ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ ... nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1).
ÐFBC = ÐFAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn ÐCAD = 450 hay ÐFAC = 450 (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra DFBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F.
3. Theo trªn ÐBFC = 900 => ÐCFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); ÐCDM = 900 (t/c h×nh vu«ng).
=> ÐCFM + ÐCDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®­êng trßn suy ra ÐCDF = ÐCMF , mµ ÐCDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ÐCMF = 450 hay ÐCMB = 450. 
Ta còng cã ÐCEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ÐBKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng).
 Nh­ vËy K, E, M cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
4. DCBM cã ÐB = 450 ; ÐM = 450 => ÐBCM =450 hay MC ^ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.
Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ÐB = 450 . VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E.
Chøng minh AE = EB.
Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.
Lêi gi¶i: 
1. ÐAEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) 
=> ÐAEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ÐABE = 450 
=> DAEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB.
2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ÐAEC = 900 nªn BE ^ HE t¹i E => IK ^ HE t¹i K (2).
Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.
 Ð ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐBDH = 900 (kÒ bï ÐADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID.
Ta cã DODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ÐD1 = ÐC1. (3)
 DIBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ÐD2 = ÐB1 . (4)
Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ^ AC t¹i F => DAEB cã ÐAFB = 900 .
Theo trªn DADC cã ÐADC = 900 => ÐB1 = ÐC1 ( cïng phô ÐBAC) (5).
Tõ (3), (4), (5) =>ÐD1 = ÐD2 mµ ÐD2 +ÐIDH =ÐBDC = 900=> ÐD1 +ÐIDH = 900 = ÐIDO => OD ^ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.
Bµi 25. Cho ®­êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q.
1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp .
3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ^ MI.
Lêi gi¶i: 
1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => DABC c©n t¹i A.
2. Theo gi¶ thiÕt MI ^ BC => ÐMIB = 900; MK ^ AB => ÐMKB = 900.
=> ÐMIB + ÐMKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp 
* ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK )
3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐKMI + ÐKBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐHMI + ÐHCI = 1800. mµ ÐKBI = ÐHCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ÐKMI = ÐHMI (1).
Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐB1 = ÐI1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐH1 = ÐC1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ ÐB1 = ÐC1 ( = 1/2 s® ) => ÐI1 = ÐH1 (2).
Tõ (1) vµ (2) => DMKI DMIH => => MI2 = MH.MK
4. Theo trªn ta cã ÐI1 = ÐC1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã ÐI2 = ÐB2 mµ ÐC1 + ÐB2 + ÐBMC = 1800 => ÐI1 + ÐI2 + ÐBMC = 1800 hay ÐPIQ + ÐPMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ÐQ1 = ÐI1 mµ ÐI1 = ÐC1 => ÐQ1 = ÐC1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ^BC nªn suy ra IM ^ PQ.
 Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ^ AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh :
1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña ÐCMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp 
4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => 
=> ÐCAM = ÐBAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c )
2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ^ AB => A lµ trung ®iÓm cña => ÐCMA = ÐDMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.
3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => OM ^ BC t¹i I => ÐOIC = 900 ; CD ^ AB t¹i H => ÐOHC = 900 => ÐOIC + ÐOHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp
4. KÎ MJ ^ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ^ BC => OM ^ MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ^ BC, MK ^ CA, MI ^ AB. Chøng minh : 
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ÐBAO = Ð BCO. 3. DMIH ~ DMHK. 4. MI.MK = MH2.
Lêi gi¶i: 
(HS tù gi¶i)
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ÐBAO = Ð BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).
Theo gi¶ thiÕt MH ^ BC => ÐMHC = 900; MK ^ CA => ÐMKC = 900
=> ÐMHC + ÐMKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ÐHCM = ÐHKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ÐMHI = ÐMBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). 
Mµ ÐHCM = ÐMBI ( = 1/2 s® ) => ÐHKM = ÐMHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã 
ÐKHM = ÐHIM (2). Tõ (1) vµ (2) => D HIM ~ D KHM.
Theo trªn D HIM ~ D KHM => => MI.MK = MH2
Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.
Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh.
E, F n»m trªn ®­êng trßn (O).
Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n.
Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Lêi gi¶i: 
1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .
2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ÐBAC + ÐB’HC’ = 1800 mµ ÐBHC = ÐB’HC’ (®èi ®Ønh) => ÐBAC + ÐBHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ÐBHC = ÐBFC => ÐBFC + ÐBAC = 1800 
=> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).
* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .
3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC ^ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ^ HE (2)
Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)
Theo trªn E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).
Theo trªn F Î(O) vµ ÐFEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => ÐACF = 900 => ÐBCF = ÐCAE ( v× cïng phô ÐACB) (5).
Tõ (4) vµ (5) => ÐBCF = ÐCBE (6).
Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n.
4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI ^ BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => ÐOIG = ÐHAG (v× so le trong); l¹i cã ÐOGI = Ð HGA (®èi ®Ønh) => DOGI ~ DHGA => mµ OI = AH => mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H.
Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.
Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.
Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Lêi gi¶i: (HD)
1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ÐAEF = ÐACB (cïng bï ÐBFE)
 ÐAEF = ÐABC (cïng bï ÐCEF) => D AEF ~ D ABC.
2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña DAHK => AH = 2OA’
3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :
D AEF ~ D ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp D AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña DABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña DAEF.
Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DAEF 
Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 
VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 
4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’^AC ; OC’^AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB.
 	 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )
2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)
Theo (2) => OA’ = R . mµ lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC nªn = . T­¬ng tù ta cã : OB’ = R .; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®­îc 
2SABC = R () ó 2SABC = R(EF + FD + DE) 
* R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC.
 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.
Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA.
Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH.
Gi¶ sö ÐB > ÐC. Chøng minh ÐOAH = ÐB - ÐC.
Cho ÐBAC = 600 vµ ÐOAH = 200. TÝnh:
ÐB vµ ÐC cña tam gi¸c ABC.
b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R
Lêi gi¶i: (HD)
1. AM lµ ph©n gi¸c cña ÐBAC => ÐBAM = ÐCAM => => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM ^ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ^ BC => OM // AH => ÐHAM = ÐOMA ( so le). Mµ ÐOMA = ÐOAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ÐHAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.
2. VÏ d©y BD ^ OA => => ÐABD = ÐACB.
 Ta cã ÐOAH = Ð DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ÐOAH = ÐABC - ÐABD => ÐOAH = ÐABC - ÐACB hay ÐOAH = ÐB - ÐC.
3. a) Theo gi¶ thiÕt ÐBAC = 600 => ÐB + ÐC = 1200 ; theo trªn ÐB ÐC = ÐOAH => ÐB - ÐC = 200 .
=> 
b) Svp = SqBOC - SBOC = =