Bài tập ôn học kỳ 1 (năm 2009 - 2010) toán Hình học 9

BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ 1 (09-10) TOÁN HÌNH HỌC 9
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R . Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc Ax . Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By tại N . a/ Tính số đo góc MON .
 b/ Chứng minh rằng : MN=AM + BN
 c/ Chứng minh rằng : AM . BN =R2
Giải:
Vẽ hình đúng 
Gọi I là tiếp tuyến của MN với nửa đường tròn a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có 
 MA = MI ( = ) 
 NI = NB ( = ) 
 Mà AI và BI kề bù 
 Do đó MI + IN = 900 hay MN = 900 
 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có 
 AM=MI và MI = BN 
 Mà MI+IN = MN 
 Nên MN=AM+BN 
 c) Trong tam giác vuông OMN
Ta có OI2= MI . IN (hệ thức h2= b’. c’) 
 Mà AM=MI và MI = BN 
 Suy ra R2= AM.BN 
Bài 2 : Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6 cm , AC = 8 cm .Kẻ đường cao AH .
a)Tính BC , AH , HB , HC .
b)Tính giá trị của biểu thức Q = sinB + cosB .
Giải:
a)Vẽ hình đúng 
*Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC Ta có :BC2= AB2+AC2 =102 
 BC = 10 (cm) 
*AH == = 4,8 (cm) 
*HB = = = 3,6 (cm) 
*HC = 10 -3,6 = 6,4 (cm) 
b)Q = sinB + cosB .
 = + = = 
Bài 3 
 Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC . Gọi M là trung điểm của đoạn BC . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt Bx tại O .
 1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
 2) Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn 
Giải:
Vẽ hình đúng 
1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
Gọi I là giao điểm của MO vá AB 
 Theo đề bài MI là đường trung bình của tam giác ABC nên IA=IB 
Do đó tam giác OAB cân tại O (MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến)
Suy ra : OA =OB 
 Mà OB vuông góc với BC 
Vì vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
2)Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn 
 Tam giác BOM vuông tại B nên ba điểm B,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO
 Xét hai tam giác BOM và AOM có 
OA=OB
=(do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 MO là cạnh chung )
Vì vậy ΔBOM=ΔAOM (c,g,c)
Do đó Tam giác AOM vuông tại A nên ba điểm A,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO
Vậy bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn 
Bài 4 : 
 Một cái thang dài 4 m , đặt dựa vào tường , góc giữa thang và mặt đất là 600 .
 Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường . 
Giải:
Vẽ hình đúng 
 Khoảng cách chân thang đến tường là : 4. cos 600 
 = 4 . = 2 (m) 
Bài 5: 
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R .Kẻ các tiếp tuyến Ax ; By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Vẽ bán kính OE bất kỳ . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax , By theo thứ tự tại C và D .
 Chứng minh rằng :
a/CD=AC+BD
B/ =900
C/ Tích AC.BD = R2
Giải:
Vẽ hình
Chứng minh 
a/ CD=AC+BD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Thì 
 AC= EC và BD=ED mà DC = EC+ED 
 Nên CD = AC+BD
b/ =900
 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có 
 CA = CE ( = ) 
 ED = BD ( = ) 
 Mà AE và EB kề bù 
 Do đó CE + EB = 900 hay CD = 900
c/ Tích AC.BD = R2
Trong tam giác vuông OCD
Ta có OE2= EC . ED (hệ thức h2= b’. c’) mà AC= EC và BD=ED 
 Suy ra R2= AC.BD 
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC= 5 Cm , AB =2AC
a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH .Tính HB , AH
c/Tính tg, Suy ra giá trị gần đúng của số đo 
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA) . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn . Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Giải:
Vẽ hình 
a)Tính AB
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông , ta có AB2+= BC2
 AB2+= BC2
 + = BC2
 = BC2 
 5AB2 = 4BC2 
 AB2 = == 20 
 AB= = 2. (cm)
b)Kẻ đường cao AH .Tính HB , AH
 Ta có AC= = = (cm)
 AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c )
AH= = = 2 (cm)
 AB2= BC.HB ( Hệ thức c2=a.c’)
Suy ra HB= = = 4 (cm)
c)Tính tg, Suy ra giá trị gần đúng của số đo 
Ta có tg= = = 2 
 Suy ra ≈
c) Xét hai tam giác ABC và EBC có
BA=BE (là bán kính đường tròn (B;BA) )
CA =CE (là bán kính đường tròn (C;CA) )
BC là cạnh chung 
Suy ra ΔABC=ΔEBC (c,c,c)
Mà =900 nên = 900 Hay CE vuông góc với bán kính BE tại tiếp điểm E 
Vậy : CE là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).