Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 31: Ôn tập học kì I (Có đáp án)

 HỌC KÌ II – TUẦN 5 – TIẾT 31 – ÔN TẬP HỌC KỲ I
Bài 1: Tam giác ABC cân tại A , gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA 2 5cm , 
IB 3cm . Tính độ dài AB .
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A µA 900 , đường cao AD , trực tâm H . Tính độ dài AD , biết
AH 14cm , BH HC 30cm . 
Bài 3: Tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD dài 45cm , đường cao AH dài 36cm . 
Tính các độ dài BD, DC .
 1 cos x sin x
Bài 4: Cho tan x . Tính 
 2 cos x sin x
Bài 5: Tính tan15 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có số đo góc C bằng 15 , BC a . Chứng minh rằng 
 a2
AB.AC 
 4
 a b c
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh 
 sin A sin B sin C
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn DC . Cho ·ACD , ·ADC  và AB a . Tính 
diện tích hình thang. 
Bài 9: Cho O và hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi 
H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Biết AB CD . Chứng minh rằng MH MK
Bài 10: Trong O cho một điểm A khác điểm O . Tìm trên đường tròn này một điểm M sao 
cho góc AMO lớn nhất.
Bài 11: Cho hai đường tròn O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , 
M O1 , N O2 . Gọi P là điểm đối xứng với M qua O1O2 , Q là điểm đối xứng với N qua 
O1O2 . Chứng minh rằng:
a) MNPQ là hình thang cân
b) PQlà tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c) MN PQ MP NQ
Bài 12: Cho H , K là các giao điểm của hai đường tròn O1 và O2 . Đường thẳng O1H cắt O1 
tại A và O2 tại B . O2 H cắt O1 tại C và O2 tại D . Chứng minh ba đường thẳng 
BC, BD, HK đồng quy tại một điểm. HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Tam giác ABC cân tại A , gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết 
IA 2 5cm , IB 3cm . Tính độ dài AB .
Hướng dẫn
Dựng đường vuông góc với AB tại A cắt BI ở K . Ta có
µ µ 
K B1 90 Bµ B¶
  1 2 Kµ ·AIK . Vậy tam giác AIK cân tại A
· ¶
AIK B2 90 
Kẻ AH  BK . Đặt IH HK x
Xét tam giác vuông ABK có 
 2
AK 2 KH.KB 2 5 x. 2x 3 2x2 3x 20 0 2x 5 x 4 0 x 2,5
 KB 2x 3 2.2,5 3 8
 2
 AB KB2 AK 2 82 2 5 2 11
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A µA 900 , đường cao AD , trực tâm H . Tính độ dài AD , biết
AH 14cm , BH HC 30cm . 
Hướng dẫn 
Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC . Ta có BHCE là hình thoi, ABE vuông tại B nên 
BE 2 ED.EA . Đặt DE x
Ta có x 2x 14 302 x2 7x 450 0 x 18 x 25 0 x 18 AD 32cm 
Bài 3: Tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD dài 45cm , đường cao AH dài 
36cm . Tính các độ dài BD, DC .
Hướng dẫn 
Đặt BD x , DC y . Giả sử x y
HD AD2 AH 2 452 362 27
Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A , cắt BC ở E . 
 AD2 452
Ta có AE  AD nên AD2 DE.DH . Suy ra DE 75
 DH 27
Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác:
DB EB x 75 x
 (1)
DC EC y 75 y
Mặt khác x y 40 y 40 x thay vào (1) và rút gọn được
x2 115x 1500 0 x 15 x 100 0
Do x 40 x 15 y 25
 1 cos x sin x
Bài 4: Cho tan x . Tính 
 2 cos x sin x
Hướng dẫn 
 cos x sin x cot x 1 2 1
Chia cả tử và mẫu cho sin x 0 , ta được 3
 cos x sin x cot x 1 2 1 Bài 5: Tính tan15 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính.
Hướng dẫn 
Xét tam giác ABC có µA 90 , Bµ 30 , AC 1
Ta có Bµ 30 BC 2AC 2
 AC
tan 30 AB 3
 AB
Kẻ đường phân giác BD. Theo tính chất đường phân giác
DA BA DA DC DA DC AC 1
 2 3
DC BC BA BC AB BC AB BC 3 2
 AD
tan15 2 3
 AB
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có số đo góc C bằng 15 , BC a . Chứng minh rằng 
 a2
 AB.AC 
 4
Hướng dẫn : Vẽ đường cao AH , đường trung tuyến AM . Ta có AMC cân tại A
nên ·AMH 30
 AM BC 1 a
AH . 
 2 2 2 4
 a2
AB.AC AH.BC 
 4
 a b c
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh 
 sin A sin B sin C
Hướng dẫn
Kẻ AH  BC . Đặt AH h ta có
 AH
sin B 
 AB
 AH
sin C 
 AC
sin B AH AC AC b b c
 . 
sin C AB AH AB c sin B sin C b a
Chứng minh tương tự 
 sin B sin A
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn DC . Cho ·ACD , ·ADC  và AB a . Tính 
diện tích hình thang. 
Hướng dẫn 
Kẻ AA'  DC , BB '  DC . Đặt AA' h
 A' D
cot  A' D AA'.cot  h.cot 
 AA'
 A'C
cot A'C AA'.cot h.cot 
 AA'
 a
Ta có AB A' B ' A'C B 'C A'C A' D a h. cot cot  h 
 cot cot 
CD A' D A'C h cot cot  
Vậy 
 1 1 1 a a
S AB CD .AA' a h cot cot  .h a cot cot  
 2 2 2 cot cot  cot cot  
 a2 cot . cot cot  
 cot cot  2
Bài 9: Cho O và hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. 
Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Biết AB CD . Chứng minh rằng 
MH MK
Hướng dẫn 
Ta có OH đi qua trung điểm H của dây AB không đi qua tâm 
nên OH  AB . Vậy OH là khoảng cách từ O đến dây AB
Ta có OK đi qua trung điểm K của dây CD không đi qua tâm 
nên OK  CD . Vậy OK là khoảng cách từ O đến dây CD
MO2 OH 2 HM 2 OK 2 KM 2 1 
Do AB CD OH OK OH 2 OK 2 2 
Từ (1) và (2) ta có HM 2 KM 2 MH MK Bài 10: Trong O cho một điểm A khác điểm O . Tìm trên đường tròn này một điểm M sao 
cho góc AMO lớn nhất.
Hướng dẫn 
Lấy một điểm M thuộc O , MA cắt O tại M '. Kẻ 
OI  MM ' không đi qua tâm
Xét tam giác vuông OMI có cạnh huyền OI bằng bán kính 
 O không đổi, góc AMO lớn nhất khi cạnh đối diện OI 
lớn nhất
Trong các dây đi qua điểm A ở trong một đường tròn, dây 
vuông góc với bán kính qua A là dây ngắn nhất.
Vậy OI lớn nhất khi dây cung qua A bé nhất. Vậy điểm M 
phải tìm là hai điểm B,C BC  OA 
Bài 11: Cho hai đường tròn O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , 
M O1 , N O2 . Gọi P là điểm đối xứng với M qua O1O2 , Q là điểm đối xứng với N qua 
O1O2 . Chứng minh rằng
a) MNPQ là hình thang cân
b) PQlà tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c) MN PQ MP NQ
Hướng dẫn 
a) P là điểm đối xứng với M qua O1O2 , Q là điểm đối xứng với N qua O1O2 nên MP  O1O2 
  MP∥NQ . Vậy MNPQ là hình thang 
NQ  O1O2 
 · ·
Ta có P đối xứng với M qua O1O2 tại H nên HMN đối xứng HPQ qua O1O2 . Vậy 
H· MN H· PQ , nên MNPQ là hình thang cân
 · · · ·
b) tương tự ta có O1PQ đối xứng O1MN qua O1O2 nên O1PQ O1MN 90 . Vậy PQ  O1P 
do đó PQlà tiếp tuyến của O1 . Chứng minh tương tự PQlà tiếp tuyến của O2 
c) kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN thứ tự tại R và S
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MR RA RN , PS SA SQ
nên MN PQ 2RS (1)
Lại có RS là đường trung bình của hình thang MNQP , do đó
MP NQ 2RS (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN PQ MP NQ
Bài 12: Cho H , K là các giao điểm của hai đường tròn O1 và O2 . Đường thẳng O1H cắt 
 O1 tại A và O2 tại B . O2 H cắt O1 tại C và O2 tại D . Chứng minh ba đường thẳng 
BC, BD, HK đồng quy tại một điểm.
Hướng dẫn 
Gọi E AC  BD . Ta có các tam giác ACH , 
AKH nội tiếp đường tròn O1 có cạnh AH là 
đường kính nên tam giác ACH vuông tại C . tam 
giác AKH vuông tại K
DC  AE, HK  AK (1)
Chứng minh tương tự AB  DE, HK  KD (2)
Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng A, K, D . Vậy 
HK  AD
Xét tam giác ADE có H là trực tâm , mà 
HK  AD nên HK đi qua E
Vậy ba đường thẳng BC, BD, HK đồng quy tại E