Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 68: Ôn tập cuối năm (Có đáp án)

 Tiết: 68 ễN TẬP CUỐI NĂM
Dạng 1: ễn tập về hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng:
Bài 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và 
AB + AC = 21cm .
a Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC .
b Tớnh độ dài cỏc đoạn AH,BH,CH .
Bài 2: Cho tam giỏc ABC với cỏc đỉnh A,B,C và cỏc cạnh đối diện với cỏc đỉnh tương ứng là: 
a,b,c . 
a) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a
b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
Bài 3. Cho tam giỏc nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết 
HD : HA = 1 : 2. Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .
 à 0
Bài 4. Cho tam giỏc ABC cú AB = 16,AC = 14 và B = 60 .
a Tớnh độ dài cạnh BC
b Tớnh diện tớch tam giỏc ABC .
 ã 0 ã 0
Bài 5: Tớnh diện tớch tam giỏc ABC biết ABC = 45 ,ACB = 60 bỏn kớnh đường trũn ngoại 
tiếp tam giỏc ABC là R .
Dạng 2: ễn tập về gúc với đường trũn:
Bài 1. Trờn cạnh huyền BC của tam giỏc vuụng ABC về phớa ngoài ta dựng hỡnh vuụng với 
 ã
tõm tại điểm O . Chứng minh rằng AO là tia phõn giỏc của gúc BAC .
Bài 2. Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (H 
 ã ã
thuộc BC . Chứng minh rằng BAH = OAC .
Bài 3. Giả sử A và B là hai điểm phõn biệt trờn đường trũn (O). Cỏc tiếp tuyến của đường trũn 
(O). Cỏc tiếp tuyến của đường trũn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M . Từ A kẻ đường thẳng 
song song với MB cắt đường trũn (O) tại C . MC cắt đường trũn (O) tại E . Cỏc tia AE và 
 2
MB cắt nhau tại K . Chứng minh rằng MK = AK .EK và MK = KB .
Bài 4. Trờn đường trũn (O) cho cỏc điểm A,B,C,D theo thứ tự đú. Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là 
điểm chớnh giữa của cỏc cung AB,BC,CD và DA . Chứng minh cỏc đường thẳng A1C1 và 
B1D1 vuụng gúc với nhau
Bài 5. Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đú nằm trờn đường trũn tõm O đường kớnh 
AB = 2R (C và D nằm về cựng một phớa so với AB . Gọi E và F theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của A,B trờn đường thẳng CD . Tia AD cắt tia BC tại I . Biết rằng 
AE + BF = R 3 .
 ã
a Tớnh số đo AIB .
b Trờn cung nhỏ CD lấy điểm K . Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N . 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của MN khi K di động trờn cung nhỏ CD .
Bài 6. Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC ) và D là một điểm trờn cạnh BC . Kẻ DM / / AB (
M ẻ AC , DN / / AC (N ẻ AB). Gọi D ' là điểm đối xứng của D qua MN . Tỡm quỹ tớch 
điểm D ' khi điểm D di động trờn cạnh BC .
Dạng 3: Chứng minh tứ giỏc nội tiếp
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Kẻ đường cao AH và phõn giỏc trong AD của gúc 
Hã AC . Phõn giỏc trong gúc à BC cắt AH,AD lần lượt tại M,N . Chứng minh rằng: Bã ND 900 .
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O) cú trực tõm là điểm H . Gọi M 
là điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A ( M khỏc B,C . Gọi N,P theo thứ tự là cỏc điểm đối 
xứng của M qua cỏc đường thẳng AB,AC
a) Chứng minh AHCP là tứ giỏc nội tiếp
b) N,H,P thẳng hàng.
c) Tỡm vị trớ của điểm M để độ dài đoạn NP lớn nhất.
Bài 3. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn O . Dựng đường trũn qua B và tiếp xỳc với 
cạnh AC tại A dựng đường trũn qua C và tiếp xỳc với AB tại A hai đường trũn này cắt nhau 
tại D . Chứng minh à DO 900 
Bài 4. Trờn cỏc cạnh BC,CD của hỡnh vuụng ABCD ta lấy lần lượt cỏc điểm M,N sao cho 
Mã AN 450 . Đường thẳng BD cắt cỏc đường thẳng AM,AN tương ứng tại cỏc điểm P,Q .
a Chứng minh rằng cỏc tứ giỏc ABMQ và ADNP nội tiếp.
b Chứng minh rằng cỏc điểm M,N,Q,P,C nằm trờn cựng một đường trũn.
Bài 5. Cho điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường trũn O . Một đường thẳng d ở ngoài O 
và vuụng gúc với OM ; CM,BM cắt d lần lượt tại D,E . Chứng minh rằng B,C,D,E cựng thuộc 
một đường trũn.
Bài 6. Cho đường trũn tõm (O) đường kớnh AB và đường thẳng nằm ngoài đường trũn (O) 
vuụng gúc với AB tại C . Kẻ cỏt tuyến CMN với đường trũn (O) , AM,AN cắt tại D,E . 
Chứng minh MNED nội tiếp được: 
Bài 7. Cho tam giỏc cõn ABC(AB AC,À 900 ) cú đường cao BD . Gọi M,N,I theo thứ tự là 
trung điểm của cỏc đoạn BC,BM,BD . Tia NI cắt cạnh AC tại K . Chứng minh cỏc tứ giỏc 
ABMD,ABNK nội tiếp và 3BC2 4CA.CK HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: ễn tập về hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng:
Bài 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và 
AB + AC = 21cm .
a Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC .
b Tớnh độ dài cỏc đoạn AH,BH,CH .
Giải:
 A
 B H C
a. Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4, 
 AB AC AB + AC
suy ra = = = 3. Do đú AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12(cm).
 3 4 3 + 4
Tam giỏc ABC vuụng tại A , theo định lý Pythagore ta cú:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm .
b. Tam giỏc ABC vuụng tại A , ta cú AH.BC = AB.AC , suy ra 
 AB.AC 9.12
AH = = = 7,2(cm).
 BC 15
AH 2 = BH.HC . Đặt BH = x (0 < x < 9) thỡ HC = 15 - x , ta cú:
 2
(7,2) = x (15 - x) Û x 2 - 15x + 51,84 = 0 Û x (x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0
Û (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 Û x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy BH = 5,4cm . Từ đú HC = BC - BH = 9,6(cm).
Chỳ ý: Cú thể tớnh BH như sau:
 AB 2 92
AB 2 = BH.BC suy ra BH = = = 5,4(cm).
 BC 15
Bài 2: Cho tam giỏc ABC với cỏc đỉnh A,B,C và cỏc cạnh đối diện với cỏc đỉnh tương ứng là: 
a,b,c . 
c) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a
d) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
Giải: A
 B H
 C
a. Ta giả sử gúc A là gúc lớn nhất của tam giỏc
ABC ị B,C là cỏc gúc nhọn. Suy ra chõn 
đường cao hạ từ A lờn BC là điểm 
H thuộc cạnh BC .
Ta cú: BC = BH + HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho cỏc tam giỏc vuụng 
AHB,AHC ta cú:AB 2 = AH 2 + HB 2,AC 2 = AH 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trờn ta cú:
 c2 - b2
c2 - b2 = HB 2 - HC 2 = (HB + HC )(HB - HC ) = a.(HB - HC ) ị HB - HC = ta 
 a
 a2 + c2 - b2
cũng cú: HB + HC = a ị BH = . Áp dụng định lý Pitago cho tam giỏc vuụng 
 2a
 2
 ổa2 + c2 - b2 ử ổ a2 + c2 - b2 ửổ a2 + c2 - b2 ử
 2 2 ỗ ữ ỗ ữỗ ữ
AHB ị AH = c - ỗ ữ = ỗc - ữỗc + ữ
 ốỗ 2a ứữ ốỗ 2a ứữốỗ 2a ứữ
 ộ 2 ự ộ 2 ự
 ờ(a + c) - b2 ỳ ờb2 - (a - c) ỳ (a + b + c)(a + c - b)(b + a - c)(b + c - a)
= ờ ỳ.ờ ỳ= Đặt 
 ờ 2a ỳ ờ 2a ỳ 4a2
 ởờ ỷỳ ởờ ỷỳ
 16p(p - a)(p - b)(p - c) p(p - a)(p - b)(p - c)
2p = a + b + c thỡ AH 2 = ị AH = 2 . 
 4a2 a
 1
Từ đú tớnh được S = BC.AH = p(p - a)(p - b)(p - c)
 2
b. Từ Bài a) ta cú: S = p(p - a)(p - b)(p - c). Áp dụng bất đẳng thức Cụ si ta cú: 
 3
 ổp - a + p - b + p - cử p3 p3 p2
 ỗ ữ
(p - a)(p - b)(p - c)Ê ỗ ữ = . Suy ra S Ê p. = . Hay 
 ốỗ 3 ứữ 27 27 3 3 2
 (a + b + c) 2
S Ê . Mặt khỏc ta dễ chứng minh được: (a + b + c) Ê 3(a2 + b2 + c2) suy ra 
 12 3
 3(a2 + b2 + c2)
S Ê Û a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
 12 3
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giỏc ABC đều.
Bài 3. Cho tam giỏc nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết 
HD : HA = 1 : 2. Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .
Giải:
 A
 E
 H
 B C
 D
 AD AD
Ta cú: tgB = ;tgC = . 
 BD CD
 AD 2
Suy ra tan B.tanC = (1 
 BD.CD
ã ã ã ã ã 0
HBD = CAD (cựng phụ với ACB ; HDB = ADC = 90 .
 DH BD
Do đú DBDH : DADC (g.g, suy ra = , do đú BD.DC = DH.AD (2. Từ (1 và (2 suy 
 DC AD
 AD 2 AD HD 1 HD 1
ra tan B.tanC = = (3. Theo giả thiết = suy ra = hay 
 DH.AD DH AH 2 AH + HD 2 + 1
HD 1 3HD
 = , suy ra AD = 3HD . Thay vào (3 ta được: tan B.tanC = = 3 .
AD 3 DH
 à 0
Bài 4. Cho tam giỏc ABC cú AB = 16,AC = 14 và B = 60 .
a Tớnh độ dài cạnh BC
b Tớnh diện tớch tam giỏc ABC .
Giải: A
 600
 B C
 H
a. Kẻ đường cao AH . 
 1
Xột tam giỏc vuụng ABH , ta cú: BH = AB.cosB = AB.cos600 = 16. = 8
 2
 3
AH = AB.sin B = AB.sin 600 = 16. = 8 3 . Áp dụng định lý Pythagore vào tam giỏc 
 2
vuụng AHC ta cú:
 2
HC 2 = AC 2 - AH 2 = 142 - (8 3) = 196 - 192 = 4 . Suy ra HC = 2. Vậy 
BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.
 1 1
b Cỏch 1. S = BC.AH = .10.8 3 = 40 3 (đvdt
 ABC 2 2
 1 1 3
Cỏch 2. S = BC.BA.sin B = .10.16. = 40 3 (đvdt
 ABC 2 2 2
 ã 0 ã 0
Bài 5: Tớnh diện tớch tam giỏc ABC biết ABC = 45 ,ACB = 60 bỏn kớnh đường trũn ngoại 
tiếp tam giỏc ABC là R .
Giải:
 A
 600 450
 C H B
 D
Giả thiết cú cỏc gúc cú số đo đặc biệt , nhưng tam 
giỏc ABC là tam giỏc thường nờn ta sẽ tạo ra tam
giỏc vuụng bằng cỏch. Dựng cỏc đường 
thẳng qua C,B lần lượt vuụng gúc với AC,AB . Gọi D là giao điểm của hai đường
thẳng trờn. Khi đú tam giỏc ABD và ACD là cỏc tam giỏc
vuụng và 4 điểm A,B,C,D cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AD = 2R . Ta cú: 
 3
AB = AD.sin 600 = AD. = R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra H ẻ BC .Tức là: 
 2
BC = BH + CH . Tam giỏc AHB vuụng gúc tại H nờn 
 AB 2 3 2 R 6
AH = BH = AB.sin 450 = = AD . = . Mặt khỏc tam giỏc ACH vuụng 
 2 2 2 2
 R R(1+ 2)
tại H nờn AC 2 = AH 2 + CH 2 ị CH = ị BC = . Từ đú tớnh được diện tớch 
 2 2
 R2 (3 + 3)
S = .
 4
Dạng 2: ễn tập về gúc với đường trũn:
Bài 1. Trờn cạnh huyền BC của tam giỏc vuụng ABC về phớa ngoài ta dựng hỡnh vuụng với 
 ã
tõm tại điểm O . Chứng minh rằng AO là tia phõn giỏc của gúc BAC .
Lời giải:
 A
 B C
 O
 N M
 ã 0
Vỡ O là tõm của hỡnh vuụng nờn BOC = 90 .
 ã 0
Lại cú BAC = 90 suy ra bốn điểm A,B,O,C 
cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BC.
 ã ã ẳ ã 0 ã 0
Đối với đường trũn này ta thấy BAO = BCO (cựng chắn BO . Mà BCO = 45 ị BAO = 45
 ã 0 ã ã ã 0 ã ã
. Do BAC = 90 , nờn CAO = BAC - BAO = 45 . Vậy BAO = CAO , nghĩa là AO là tia 
 ã
phõn giỏc của gúc vuụng BAC (đpcm.
Bài 2. Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (H 
 ã ã
thuộc BC . Chứng minh rằng BAH = OAC .
Lời giải: A
 O
 H
 B C
 D E
 ã 0
Kẻ đường kớnh AE của đường trũn (O). Ta thấy ACE = 90 (gúc nội tiếp chắn nửa đường 
 ã ã 0
trũn. Từ đú OAC + AEC = 90 (1.
 ã ã 0 ã ã ẳ
Theo giả thiết bài ra, ta cú: BAH + ABC = 90 (2. Lại vỡ AEC = ABC (cựng chắn AC (3.
 ã ã
Từ (1,(2 và (3 suy ra BAH = OAC (đpcm.
Lưu ý: Cũng cú thể giải bài toỏn theo hướng sau: Gọi D là giao điểm của tia AH với đường trũn 
 ằ ằ
(O), chứng tỏ tứ giỏc BDEC là hỡnh thang cõn. Từ đú suy ra sđBD = sđCE , dẫn đến 
ã ã ã ã
BAD = CAE , hay BAH = OAC .
Bài 3. Giả sử A và B là hai điểm phõn biệt trờn đường trũn (O). Cỏc tiếp tuyến của đường trũn 
(O). Cỏc tiếp tuyến của đường trũn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M . Từ A kẻ đường thẳng 
song song với MB
cắt đường trũn (O) tại C . MC cắt đường trũn (O) tại E . Cỏc tia AE và MB cắt nhau tại K . 
Chứng minh rằng MK 2 = AK .EK và MK = KB .
Lời giải:
 A
 E C
 M O
 K
 B
Do MB / / AC nờn 
ã ã
BMC = ACM (1, ta lại cú 
ã ã ã
ACM = ACE = MAE ẳ
(cựng chắn AE (2. Từ (1 và (2 
 MK EK
suy ra DKME : DKAM (g.g ị = hay MK 2 = AK .EK (3. Ta thấy 
 AK MK
ã ã ằ BK EK
EAB = EBK (cựng chắn BE . Từ đú DEBK : DBAK (g.g ị = hay 
 AK BK
BK 2 = AK .EK (4. Từ (3 và (4 suy ra MK 2 = KB 2 nghĩa là MK = MB (đpcm.
Bài 4. Trờn đường trũn (O) cho cỏc điểm A,B,C,D theo thứ tự đú. Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là 
điểm chớnh giữa của cỏc cung AB,BC,CD và DA . Chứng minh cỏc đường thẳng A1C1 và 
B1D1 vuụng gúc với nhau
 B B1
 C
 A1
 I
 O
 C1
 A
 D
 D1
Lời giải: 
Gọi I là giao điểm của A1C1 và B1D1 ; a,b, g,d theo thứ tự là số đo của cỏc cung 
ằ ẳ ằ ằ 0
AB,BC,CD,DA . Khi đú a + b + g + d = 360 . 
 ã
Xột gúc A1IB1 là gúc cú đỉnh nằm trong đường trũn (O). Ta cú 
ã 1ổ ẳ ẳ ử
A IB = ỗsđA BB + sđC DD ữ 
 1 1 2ốỗ 1 1 1 1ứữ
 1ổ ẳ ẳ ẳ ẳ ử
= ỗsđA B + sđBB + sđC D + sđDD ữ 
 2ốỗ 1 1 1 1ứữ
 1
= (a + b + g + d) = 900 . Nghĩa là AC ^ B D (đpcm.
 4 1 1 1 1
Bài 5. Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đú nằm trờn đường trũn tõm O đường kớnh 
AB = 2R (C và D nằm về cựng một phớa so với AB . Gọi E và F theo thứ tự là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của A,B trờn đường thẳng CD . Tia AD cắt tia BC tại I . Biết rằng 
AE + BF = R 3 .
 ã
a Tớnh số đo AIB .
b Trờn cung nhỏ CD lấy điểm K . Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N . 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của MN khi K di động trờn cung nhỏ CD .
Lời giải: I
 E
 D K
 M N
 C
 H F
 A O B
a. Kẻ OH ^ CD (H ẻ CD), 
ta thấy OH là đường trung bỡnh 
của hỡnh thang ABFE , 
 1 R 3
suy ra OH = (AE + BF ) = . 
 2 2
Từ đú tam giỏc OCD đều, 
 ã ã 0 ã
suy ra sđCOD = sđKCD = 60 .Ta thấy AIB cú đỉnh nằm ngoài đường trũn (O) nờn 
 ã 1ổ ẳ ẳ ử 1 0 0 0
sđAIB = ỗsđAmB - sđKCDữ= (180 - 60 ) = 60 . 
 2ốỗ ứữ 2
b) Ta thấy DAEM : DNFB suy ra EM .NF = AE.BF (khụng đổi do đú MN lớn nhất khi và 
chỉ khi EM + NF nhỏ nhất. Theo trờn, EM.NF khụng đổi nờn EM + NF nhỏ nhất khi 
EM = FN = AE.BF . 
Vậy giỏ trị lớn nhất của MN bằng EF - 2 AE.BF .
Bài 6. Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC ) và D là một điểm trờn cạnh BC . Kẻ DM / / AB (
M ẻ AC , DN / / AC (N ẻ AB). Gọi D ' là điểm đối xứng của D qua MN . Tỡm quỹ tớch 
điểm D ' khi điểm D di động trờn cạnh BC .
Lời giải:
 A
 M
 D'
 N
 B D C