Phiếu bài tập số 3 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 49: Luyện tập Tứ giác nội tiếp - Bùi Thanh Sơn (Có đáp án)

 LUYỆN TẬP: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC. Từ một điểm D trên AC, vẽ DE  AB (
E AB ). Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCDE nội tiếp.
b) A· FE A· CE .
Bài 2. Cho tam giác ABC không có góc tù. Các đường cao AH và đường trung tuyến AM không 
trùng nhau. Gọi N là trung điểm của AB. Cho biết B· AH C· AM .
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.
b) Tính số đo của góc B· AC .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng 
vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp.
b) Góc A· DH có số đo không đổi khi E di động trên cạnh AB.
c) Khi E di động trên cạnh AB thì BA.BE CD.CE không đổi.
Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy hai điểm C và D trên nửa đường tròn sao cho 
A»C C»D D»B. Các tiếp tuyến vẽ từ B và C của nửa đường tròn cắt nhau tại I. Hai tia AC và BD 
cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: 
a) Các tam giác KAB và IBC là những tam giác đều.
b) Tứ giác KIBC nội tiếp.
Bài 5. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường tròn 
(B nằm giữa A và C). Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh rằng:
a) AT2 AB.AC
b) AB.AC AH.AO
c) Tứ giác OHBC nội tiếp. HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính 
AB và dây AC. Từ một điểm D trên AC, F
vẽ DE  AB ( E AB ). Hai đường thẳng 
DE và BC cắt nhau tại F. Chứng minh 
rằng:
a) Tứ giác BCDE nội tiếp. C
b) A· FE A· CE .
 HD D
a) Tứ giác BCDE có:
 D· CB D· EB 900 900 1800 
nên nội tiếp đường tròn đường kính BD.
b) Tứ giác AFCE nội tiếp đường tròn A E B
đường kính AF nên A· FE A· CE .
Bài 2. Cho tam giác ABC không có góc 
tù. Các đường cao AH và đường trung 
tuyến AM không trùng nhau. Gọi N là 
trung điểm của AB. Cho biết 
 B· AH C· AM .
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.
b) Tính số đo của góc B· AC .
 HD
a) MN là đường trung bình nên song song 
với AC M· AC A· MN A
HN là trung tuyến của tam giác vuông 
AHB nên HN = AN B· AH A· HN 
Mà B· AH C· AM (giả thiết) N
 A· MN A· HN 
 M, H thuộc cung chứa góc A· HN 
 C
dựng trên đoạn AN, hay tứ giác AMHN B H M
nội tiếp.
b) Tứ giác AMHN nội tiếp nên ta có:
 N· AM N· HB (cùng bù với góc NHM)
Lại có M· AC B· AH N· HA 
 · BAC B· AM M· AC
 N· HB N· HA 900
* Lưu ý: Tam giác ABC vuông tại A, 
đường cao AH và trung tuyến AM thì ta 
dễ chứng minh được B· AH C· AM Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. 
Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ 
một đường thẳng vuông góc với tia CE tại 
D và cắt tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp.
b) Góc A· DH có số đo không đổi khi E di 
động trên cạnh AB.
c) Khi E di động trên cạnh AB thì 
 BA.BE CD.CE không đổi.
 H
 HD
a) B· DC B· AC 900 nên tứ giác ADBC 
 A
nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) A· DH A· CB không đổi.
c) E là trực tâm tam giác HBC nên HE là 
đường cao kẻ từ H. Gọi K là giao điểm D
của HE và BC. E
 BE BK
 BKE ∽ BAC 
 BC AB 
 B
 BE.BA BK.BC K C
 CK CE
 CKE ∽ CDB 
 CD BC 
 CD.CE CK.BC
Suy ra:
 BA.BE CD.CE BK.BC CK.BC
 BK CK .BC
 BC2
Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính 
AB. Lấy hai điểm C và D trên nửa đường 
tròn sao cho A»C C»D D»B. Các tiếp 
tuyến vẽ từ B và C của nửa đường tròn cắt K I
nhau tại I. Hai tia AC và BD cắt nhau tại 
K. Chứng minh rằng: 
a) Các tam giác KAB và IBC là những 
tam giác đều.
b) Tứ giác KIBC nội tiếp.
 HD C D
a) A»C C»D D»B
Mà sđA»C sđC»D sđB»D 1800 
 sđA»C sđC»D sđB»D 600 
 1
 K· AB sđC»B 600 ; 
 2
 A O B
 1
 K· BA sđA»D 600 
 2
 K· AB K· BA 600 KAB đều.
 1
 C· BA sđA»C 300 I·BC 600 
 2
 O· CB O· BC 300 
 B· CI 900 O· CB 600 
Vậy I·BC B· CI 600 IBC đều.
b) C· KB C· IB 600 nên K, I thuộc cung 
chứa góc 600 dựng trên cạnh BC, hay tứ 
giác IKCB nội tiếp.
Bài 5. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn 
(O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với 
đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi H là 
hình chiếu của T trên OA. Chứng minh 
rằng:
a) AT2 AB.AC
b) AB.AC AH.AO
c) Tứ giác OHBC nội tiếp.
 HD
a) A· TB T· CB (góc nội tiếp và góc tạo bởi 
 T
tia tt&dc cùng chán cung TB của (O)); Aµ 
chung
 AT AB 2 A
 ABT ∽ ATC AT AB.AC. O
 AC AT H
b) Tam giác ATO vuông tại T, TH là đường B
cao C
 AT2 AH.AO (hệ thức giữa cạnh và 
đường cao trong tam giác vuông).
Vậy AB.AC AH.AO AT2 .
c) Hai tam giác ABH và AOC có:
 AB AH
 Aµ chung; (suy ra từ b)
 AO AC
 ABH ∽ AOC A· HB A· CO 
 B· CO B· HO B· HA B· HO 1800 
 OHBC là tứ giác nội tiếp.