Phiếu bài tập số 5 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 29: Luyện tập - Thân Ngọc Khánh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 5: TIẾT 29 - LUYỆN TẬP – GV THÂN NGỌC KHÁNH
1. Dạng toán nhận biết tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 
Bài 1: Cho đường tròn O; R dây cung AB không đi qua tâm. Hai tiếp tuyến của 
đường tròn O; R tại A và B cắt nhau tại C . Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến căt nhau 
Chỉ rõ các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O; R . Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp 
tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là tiếp điểm).
 a) Chứng minh AO vuông góc với BC
 b) Kẻ đường kính BD của đường tròn tâm O; R . Chứng minh rằng DC song 
song với OA
Bài 3: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng chứa nửa 
đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến 
với đường tròn O , tiếp tuyến này thứ tự cắt Ax, By tại C và D . Chứng minh rằng :
 a) CD CA DB 
 b) OC  OD . 
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB 4 cm . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By 
( Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm 
bất kỳ thuộc nửa đường tròn.Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By theo thứ tự ở D và C . 
 1. Chứng minh OM 2 AD.BC
 2. Tính diện tích của hình thang ABCD , biết chu vi của nó bằng14 cm .
2. Dạng toán đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác
Bài 5: Cho đường tròn tâm O; R . Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp 
tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm D bất kỳ, 
Từ D kẻ DF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O; R . Đường thẳng DF cắt AC tại E. 
Chứng minh P 2.AC ( P là chu vi tam giác ADE ) 
 ADE ADE
Bài 6: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r . Giả sử (I;r) tiếp xúc 
với các cạnh AB,BC,CE lần lượt tại D,E,F . Đặt AB c,BC a,AC b,AD x,BE y,CF z . 
 a) Hãy tính x,y,z theo a,b,c
 b) Chứng minh S p.r (trong đó S là diện tích tam giác p là nữa chu vi tam giác, 
r là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác. 1 1 1 1
 c) Chứng minh: trong đó (ha ; hb ; hc ) lần lượt là đường cao kẻ từ 
 r ha hb hc
các đỉnh A,B,C của tam giác A,B,C .
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB 20 cm, BC 12 cm, CA 16 cm. Tính bán kính của 
đường tròn nội tiếp tam giác đã cho
3. Bài toán tổng hợp về hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB . Gọi Ax, By là các tia vuông góc 
với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là 
điểm bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ). Đường thẳng qua M vuông góc 
với OM cắt Ax tại C và cắt By tại D .
 a) Chứng minh CA CM .
 b) Chứng minh M· OB = 2. ·MAO , từ đó suy ra AM song song với OD .
 c) Gọi N là giao điểm của AD và BC . Chứng minh đường thẳng MN vuông góc 
với đường thẳng AB . 
Bài 9: Cho đường tròn O, R và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một 
điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm). 
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H , trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao 
cho HC HB .
 a) Chứng minh C thuộc đường tròn O, R và AC là tiếp tuyến của đường tròn 
 O, R .
 b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I,OI cắt BC tại K . 
Chứng minh OH.OA OI.OK R2 .
 c) Chứng minh khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi qua 
một điểm cố định.
Bài 10: Cho ABC vuông tại A đường cao AK . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AK . 
Kẻ các tiếp tuyến BE;CD với đường tròn ( E; D là các tiếp điểm K ). Chứng minh:
 a) BC BE CD 
 b) Ba điểm D; A; E thẳng hàng.
 c) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .
 Bài 11: Cho đường tròn O; R và một điểm A nằm ngoài đường tròn O sao cho 
OA 2R . Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn O ( B là tiếp điểm).
 1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R (1đ) 2) Từ B vẽ dây cung BC của O vuông góc với cạnh OA tại H . Chứng minh 
AC là tiếp tuyến của đường tròn O . 
 3) Chứng minh tam giác ABC đều. 
 4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D . Đường tròn đường kính AC 
cắt cạnh DC tại E . Gọi F là trung điểm của cạnh OB . Chứng minh ba điểm A, E, F 
thẳng hàng. 
Bài 12: Cho đường tròn O; R có đường kính AC và dây cung BC R .
 a) Chứng minh ABC vuông tại B và tính số đo của  và độ dài dây AB theo 
R .
 b) Đường thẳng qua O và vuông góc với AB tại H cắt tiếp tuyến tại A của đường 
tròn O ở D . Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn O .
 c) Vẽ dây BE  AC tại M . Chứng minh tứ giác OBCE là hình thoi và tính diện 
tích tứ giác OBCE theo R .
 d) Tiếp tuyến tại C của O cắt DB tại K . Chứng minh AK,CD, BE đồng quy.
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 5
1. Dạng toán nhận biết tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 1: Cho đường tròn O; R dây cung AB không đi qua tâm. Hai tiếp tuyến của 
đường tròn O; R tại A và B cắt nhau tại C . Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến căt nhau 
Chỉ rõ các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau.
Lờigiải
 A
Ta có CA;CB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên.
Các góc bằng nhau là: ·ACO O· CB ; A· OC = C· OB
 C O
Các đoạn thẳng bằng nhau là: CA CB E
Bài 2: Cho đường tròn tâm O; R . Từ một điểm A 
 B
nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với 
đường tròn ( B,C là tiếp điểm).
a) Chứng minh AO vuông góc với BC
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn tâm O; R . Chứng minh rằng DC song song với 
OA
Lờigiải
a) Ta có OB OC (Bán kính) B
AB AC (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt 
nhau)
 OAlà đường trung trực của BC hay 
 O
OA  BC A
b) Ta có tam giác BDC nội tiếp đường 
tròn tâm O . Có cạnh BD là đường kính.
=> Tam giác BDC vuông tại C
 C D
 DC  BC tại C
Vậy DC / /OA ( Vì cùng vuông góc với BC )
Bài 3: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng chứa nửa 
đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến 
với đường tròn O , tiếp tuyến này thứ tự cắt Ax, By tại C và D . Chứng minh rằng :
 a) CD CA DB 
 b) OC  OD . 
 D
Lờigiải
a) Ta có CA;CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CA CM
 M
 C
 2 3
 4
 A 1 B
 O Lại có DB ; DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên BD DM
 CD AC BD
b) Ta có CA ; CB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C 
Nên OC là tia phân giác của góc M· OA
Lại có DB ; DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D 
Nên OD là tia phân giác của góc M· OB
Mà M· OA và M· OB là 2 góc kề bù. Suy ra OC  OD
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB 4 cm . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By (
Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm 
bất kỳ thuộc nửa đường tròn.Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By theo thứ tự ở D và C . 
 1. Chứng minh OM 2 AD.BC
 2. Tính diện tích của hình thang ABCD , biết chu vi của nó bằng14 cm .
Lờigiải
1) Ta có CB ; CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên
CB CM
Lại có DA ; DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên 
AD DM
Chứng minh được OC  OD
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOC ta có 
OM 2 MD.MC OM 2 AD.BC
2) Chu vi hình thang ABCD là
AB BC CD DA 14 4 BC MC MD AD 14 BC AD 5 cm.
 AD BC
Diện tích hình thang S  AB 10 cm2.
 ABCD 2
2. Dạng toán đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác
Bài 5: Cho đường tròn tâm O; R . Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp 
tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm D bất kỳ, 
Từ D kẻ DF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O; R . Đường thẳng DF cắt AC tại E. 
Chứng minh P 2.AC ( P là chu vi tam giác ADE ) 
 ADE ADE
Lờigiải B
 D
 F
 A
 O
 E
 C
Ta có DB ; DF là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên DB DF
Ta có EF ; EC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên FE EC
Ta có AB ; AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB AC
Lại có PADE AD AE DE AD AE FE FD AC AB 2.AC
Bài 6: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r . Giả sử (I;r) tiếp xúc 
với các cạnh AB,BC,CE lần lượt tại D,E,F . Đặt AB c,BC a,AC b,AD x,BE y,CF z . 
 a) Hãy tính x,y,z theo a,b,c
 b) Chứng minh S p.r (trong đó S là diện tích tam giác p là nửa chu vi tam giác, r là 
 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
 1 1 1 1
 c) Chứng minh: trong đó (ha ; hb ; hc ) lần lượt là đường cao kẻ từ các 
 r ha hb hc
đỉnh A,B,C của tam giác A,B,C .
Lờigiải
 A
 x
 x
 D F
 r
 I z
 y
 B C
 y E z x y c
 y z a
a). Từ giả thiết ta có AF AD x,BD BE y,CE CF z . Từ đó suy ra z x b . 
 a b c
 x y z 
 2
Lần lượt trừ từng vế phương trình (4) của hệ cho các phương trình ta thu được: 
 a b c
 z p c
 2
 a c b
 y p b
 2
 b c a
 x p a
 2
 1 1
b). Ta có S S S S r.AB r.AC r.BC r.2p p.r
 ABC IAB IAC IBC 2 2
 1 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 p 1
c). Ta có S a.ha , , a b c 
 2 ha 2S hb 2S hc 2S ha hb hc 2S S r
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB 20 cm, BC 12 cm, CA 16 cm. Tính bán kính của 
đường tròn nội tiếp tam giác đã cho
Lờigiải
Vì AB2 BC 2 AC 2 VABC vuôngtạiC .
Từ đó dựa vào hình vuông CHIK
Với I là tâm đường tròn nội tiếp.
 CA CB AB
 Ta có r CH 4.
 2
3. Bài toán tổng hợp về hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với 
AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm 
bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng qua M vuông góc với OM 
cắt Ax tại C và cắt By tại D.
 a) Chứng minh CA = CM.
 b) Chứng minh M· OB = 2. ·MAO , từ đó suy ra AM song song với OD.
 c) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh đường thẳng MN vuông góc 
với đường thẳng AB. 
Lờigiải y
a) CM  MO CM là tiếp tuyến của (O)
 D
CA  AO CA là tiếp tuyến của (O).
 CM = CA (T.chất 2 tt cắt nhau).
b) OMA cân tại O do OM = OA x
 M· AO A· MO
 M
Mà M· OB M· AO A· MO (góc ngoài)
 C
 M· OB = 2 M· AO
Lí luận được BD là tiếp tuyến của (O) N
 OD là phân giác của M· OB
 A B
 M· OB 2 D· OB M· AO D· OB O
 AM // OD
 NC AC
c) AC// BD = Mà AC= MC và BD = MD
 NB BD
 NC MC
 = MN//BD MN  AB
 NB MD
Bài 9: Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một 
điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Từ B 
kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC = 
HB.
 a) Chứng minh C thuộc đường tròn (O, R) và AC là tiếp tuyến của đường tròn 
 (O, R).
 b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. Chứng 
 minh OH.OA OI.OK R2
 c) Chứng minh khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi 
 qua một điểm cố định.
Lờigiải B
 K
 I O
 H
 A
 C
a) 
+) Chứng minh BHO = CHO OB = OC OC = R C thuộc (O, R).
+) Chứng minh ABO = ACO ABO ACO
Mà AB là tiếp tuyến của (O, R) nên AB  BO ABO 900 ACO 900
 AC  CO AC là tiếp tuyến của (O, R).
 OH OK
b) Chứng minh OHK : OIA OH.OA OI.OK
 OI OA
 ABO vuông tại B có BH vuông góc với AO BO2 OH.OA OH.OA R2
 OH.OA OI.OK R2
 R2
c) Theo câu b ta có OI.OK R2 OK không đổi. 
 OI
Mà K thuộc OI cố định nên K cố định.
Vậy khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi qua điểm K cố định.
Bài 10: Cho ABC vuông tại A đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AK. Kẻ 
các tiếp tuyến BE; CD với đường tròn ( E; D là các tiếp điểm K). Chứng minh:
 a) BC = BE + CD 
 b) Ba điểm D; A; E thẳng hàng.
 c) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
 Lờigiải
a, Chứng minh được: 
BC là tiếp tuyến của (A; AK) 
 BE BK
Ta có: BC = BE + CD 
 CD CK b, Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 
 µ ¶ 1 ·
 A1 A2 DAK µ ¶ ¶ ·
 2 A1 A2 2.A2 DAK
 Ta có : 
 1 µ ¶ µ ·
 µA ¶A K· AE A3 A4 2.A3 KAE
 3 4 2
 Ta có: D· AE = D· AK K· AE 
 · ¶ ¶ µ ¶ · 2. ¶A µA 0 0
 DAE = A2 A2 A3 A4 DAE = 2 3 = 2. 90 = 180 
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng 
c) Gọi M là trung điểm của BC
Chứng minh được MA là đường trung bình của hình thang BCDE 
Nên MA // BE do đó MA  DE (1) 
 1 BC 
Chứng minh được MA = MB = MC= BC A M ; (2) 
 2 2 
 BC 
Từ (1) và (2) DE là tiếp tuyến của đường tròn M ; 
 2 
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 
2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm).
 1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R
 2) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Chứng minh AC là tiếp 
tuyến của đường tròn (O). 
 3) Chứng minh tam giác ABC đều. 
 4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh 
DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. 
Lờigiải B
 K
 D
 F
 I
 E
 O A
 H
 M
 C
1) Ta có: A· BO 900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)