Tài liệu dạy học môn Toán Lớp 9 - Chương trình học kì I

 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 Chương
 1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
 Bài 1-2. CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
 HẰNG ĐẲNG THỨC A 2 = A
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
 ▪ Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a .
 ▪ Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
 ì
 ï x 0
 ▪ Với số a không âm, ta có a = x Û íï .
 ï x 2 = a
 îï
2. So sánh hai căn bậc hai số học
 ▪ Với hai số a và b không âm, ta có a < b Û a < b .
3. Căn thức bậc hai
 ▪ Với A là biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức 
 lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
 ▪ A xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi A 0.
 ïì A A 0
 2 ï neáu
 ▪ Hằng đẳng thức A = A Û í
 ï - A neáuA < 0.
 îï
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số
 ì
 ï x 0
 ▪ Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số a = x Û íï
 ï x 2 = a.
 îï
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của
 æ ö2
 ç 2÷ 9
a) 121; b) ç- ÷ ; c) 0,25 ; d) 1 .
 èç 5ø÷ 16
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: 0,09 + 7 × 0,36 - 3× 2,25 .
 æ ö
 ç 9 9 ÷
Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ: ç 1 - ÷×18 ?
 èç 16 16ø÷
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
 ▪ Dựa vào tính chất: Với hai số a và b không âm, ta có a < b Û a < b .
ĐT: 0344 083 6701 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và 65 .
Ví dụ 5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 15 - 1 và 10 .
Ví dụ 6. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số - a và - 2a ?
Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai
Với a 0, ta có
 ▪ x 2 = a Û x = ± a ; ▪ x = a Þ x = a2 ;
 ▪ x a Þ x > a2 .
Ví dụ 7. Giải phương trình: 3x 2 = 0,75 .
Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 3x = 12.
 1
Ví dụ 9. Tìm số x không âm, biết: 5x < 10.
 2
Ví dụ 10. Giải phương trình: x 2 - 6x + 9 + 7x = 13.
Ví dụ 11. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức x 2 + 25 = 13.
Dạng 4: Tìm điều kiện để A có nghĩa
 ▪ A có nghĩa khi và chỉ khi A 0.
 A
 ▪ có nghĩa khi và chỉ khi B > 0.
 B
 ì ì
 ï A 0 ï A £ 0
 ▪ Lưu ý: A ×B 0 Û í hoặc í .
 ï B 0 ï B £ 0
 îï îï
 ì ì
 ï A > 0 ï A < 0
 A ×B < 0 Û í hoặc í .
 ï B 0
 îï îï
Ví dụ 12. Tìm x để các căn thức sau có nghĩa
 1
a) 2x - 6 ; b) 5 - 2x ; c) .
 x - 1
 1
Ví dụ 13. Tìm x để căn thức có nghĩa.
 x 2 - 4x + 4
Dạng 5: Rút gọn biểu thức có chứa A2
ĐT: 0344 083 6702 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 ïì A A 0
 2 ï neáu
 ▪ Vận dụng hằng đẳng thức: A = A Û í
 ï - A neáuA < 0.
 îï
Ví dụ 14. Rút gọn biểu thức A = x 2 - 6x + 9 .
Ví dụ 15. Rút gọn biểu thức B = x 4 + x 6 .
Ví dụ 16. Tính giá trị của biểu thức C = 3 - 2 2 - 6 - 4 2 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
 1 3 - 1
a) 26 + 3 và 63 ; b) và .
 2 2
Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
 4
a) 5 (- 2) ; b) - 4 (- 3)6 ; c) (- 5)8 ; d) 2 (- 5)6 + 3 (- 2)8 .
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau
 2 2 2 2
a) (4 + 2) ; b) (3 - 3) ; c) (4 - 17) ; d) 2 3 + (2 - 3) .
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau
 2
a) 9 + 4 5 = ( 5 + 2) ; b) 9 - 4 5 - 5 = - 2;
 2
c) (4 - 7) = 23 - 8 7 ; d) 23 + 8 7 - 7 = 4 .
Bài 5. Tìm x không âm, biết:
a) 5x 2 = 80 ; b) 2 x = 1; c) x = 3; d) x = 5 ;
c) x = 0; e) x = - 2; f) 3x £ 6.
Bài 6. Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:
 2
a) ; b) x 2 + 2x + 1; c) x 2 - 4x .
 9 - x
Bài 7. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
 1 1 x
a) 9 - x 2 ; b) ; c) + .
 x 2 - 4 x + 2 x - 3
ĐT: 0344 083 6703 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
 2
a) (3 - 10) ; b) 9 - 4 5 ; c) 3x - x 2 - 2x + 1 .
Bài 9. Giải phương trình:
a) x 2 - 10x + 25 = 2; b) x 2 = 3x - 2; c) 4x 2 - 12x + 9 = x + 7 .
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x 2 - 7 ; b) x 2 - 2 2x + 2; c) x 2 + 13 + 2 13x .
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x 2 - 4x + 1 + 3.
Bài 12. Cho biểu thức: Q = 2x - x 2 + 2x + 1 .
a) Rút gọn biểu thức Q ; b) Tính giá trị của x khi Q = 7.
Bài 13. (*) Tìm các giá trị của x sao cho x > x .
HDG: Điều kiện x 0. Ta có x > x Û x > x 2 Û x > x 2 Û x (1- x)> 0
 ì ì
 ï x > 0 ï x > 0
TH1: í Û í Û 0 < x < 1.
 ï 1- x > 0 ï x < 1
 îï îï
 ì ì
 ï x < 0 ï x < 0
TH2: í Û í Û x Ï Æ.
 ï 1- x 1
 îï îï
Vậy với 0 x .
Bài 14. (*) Với giá trị nào của x thì biểu thức 25 - x 2 có nghĩa?
HDG: Biểu thức 25 - x 2 có nghĩa khi và chỉ khi 25 - x 2 0 Û (5 - x)(5 + x) 0.
 ì ì ì
 ï 5 - x 0 ï - x - 5 ï x „ 5
TH1: í Û í Û í Þ - 5„ x „ 5.
 ï 5 + x 0 ï x - 5 ï x - 5
 îï îï îï
 ì ì ì
 ï 5 - x „ 0 ï - x „ - 5 ï x 5
TH2: í Û í Û í Þ x Ï Æ.
 ï 5 + x „ 0 ï x „ - 5 ï x „ - 5
 îï îï îï
Vậy với - 5„ x „ 5 thì 25 - x 2 có nghĩa.
ĐT: 0344 083 6704 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 15. (*) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M = x + 4 + 2 - x có nghĩa?
HDG: Biểu thức M = x + 4 + 2 - x có nghĩa khi và chỉ khi
 ì ì ì
 ï x + 4 0 ï x - 4 ï x - 4
 í Û í Û í Û - 4„ x „ 2.
 ï 2 - x 0 ï - x - 2 ï x „ 2
 îï îï îï
Mà x là số nguyên nên x Ï {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2} .
Vậy có 7 giá trị của x thỏa yêu cầu đề bài.
 --- HẾT ---
 Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc
 ▪ Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân 
 các kết quả lại với nhau.
 ▪ Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với 
 nhau rồi khai phương kết quả đó.
 Cụ thể: với a,b 0, a ×b = a × b .
2. Chú ý
 ▪ Với hai biểu thức không âm A và B, ta có A ×B = A × B .
 2
 ▪ Đặc biệt khi A 0 thì ( A ) = A2 = A .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Khai phương một tích
 ▪ Dựa vào quy tắc khai phương một tích: với a,b 0, a ×b = a × b .
 ▪ Nhớ chú ý điều kiện áp dụng.
Ví dụ 1. Tính: a) 12,1×160 ; b) 2500×4,9×0,9 .
Ví dụ 2. Tính: a) 412 - 402 ; b) 81×6,25 - 2,25×81 .
Ví dụ 3. Đẳng thức x(1- y) = x × 1- y đúng với những giá trị nào của x và y ?
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai
 ▪ Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai: với a,b 0, a × b = a ×b .
Ví dụ 4. Tính
a) 72 × 50 ; b) 12,8 × 0,2 .
ĐT: 0344 083 6705 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 5. Tính
 2 12 1
a) 40 × 20 × 4,5 ; b) × × . 
 3 25 2
Ví dụ 6. Thực hiện các phép tính:
a) ( 20 + 45 - 5)× 5 ; b) ( 12 + 3)×( 27 - 3); 
c) ( 5 - 3 + 1)×( 5 - 1). 
Ví dụ 7. Tính
 2 2
a) ( 7 + 3) ; b) ( 8 - 2) ; c) (5 3 - 2 7)×(5 3 + 2 7).
Dạng 3: Rút gon, tính giá trị của biểu thức
 ▪ Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
 ▪ Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, các hằng đẳng thức 
 để rút gọn.
 ▪ Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ 8. Rút gọn các biểu thức sau:
 3x 5x
a) × với x > 0; b) x 6 ×(x - 2)2 với x > 2 .
 5 27
Ví dụ 9. Rút gọn các biểu thức sau:
 60
a) 15x 3 × ; b) 16(x 2 - 6x + 9) .
 x
Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức M = 25x 2 (x - 2 x + 1) với 0 < x < 1.
Ví dụ 11. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 + 2 3 - 3 ; b) 8 - 2 15 + 3 ; c) 9 - 4 5 - 5 .
Ví dụ 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x + 2 x - 1 ; b) x + 2 - 2 x + 1 . 
Dạng 4: Viết biểu thức dưới dạng tích
Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 ▪ Đặt nhân tử chung. ▪ Dùng hằng đẳng thức.
 ▪ Nhóm hạng tử. ▪ 
ĐT: 0344 083 6706 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 13. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa)
a) 3 - 3 ; b) x + 3 xy ; c) x y - y x ; d) x - x - xy + y . 
Ví dụ 14. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa)
a) x 3 - 25 x ; b) 9x + 6 xy + y ; c) x 3 + y 3 ; d) x 2 - 9 - 2 x - 3 . 
Dạng 5: Giải phương trình
 ▪ Bước 1: tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
 ▪ Bước 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hoặc các hằng đẳng thức đưa phương 
 trình đã cho về dạng phương trình đơn giản hơn.
Chú ý: có thể đưa về dạng tích
 éA = 0 ▪ A2 = 0 Û A = 0;
 ▪ A ×B = 0 Û ê ;
 êB = 0 3
 ëê ▪ A = 0 Û A = 0.
Ví dụ 15. Giải phương trình 25×(x + 5)2 = 15. 
Ví dụ 16. Giải phương trình 9x 2 - 90x + 225 = 6. 
Ví dụ 17. Giải phương trình x 2 - 25 = 2 x - 5 . 
 1 1
Ví dụ 18. Giải phương trình x - 5 + 9x - 45 = 25x - 125 + 6. 
 3 5
 1
Ví dụ 19. Giải phương trình x + = 2.
 x
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Có thể dùng một trong hai cách
 ▪ Cách 1: Biến đổi tương đương.
 ▪ Cách 2: với a,b 0 thì a < b Û a2 < b2 .
Ví dụ 20. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: 5 + 8 < 6 + 7 . 
Ví dụ 21. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng
 3 + 2 < 2( 3 + 1).
Ví dụ 22. Cho a > 0, chứng minh rằng a + 9 < a + 3.
Ví dụ 23. Cho a , b , c ³ 0. Chứng minh rằng
a) a + b ³ 2 ab ; b) a + b + c ³ ab + bc + ca .
ĐT: 0344 083 6707 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 1
Ví dụ 24. Cho a ³ , chứng minh rằng 2a - 1 £ a .
 2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính
a) 10 × 40 ; b) 5 × 45 ; c) 52 × 13 ; d) 2 × 162 . 
Bài 2. Áp dụng quy tắc khai phương một tích hãy tính
a) 45×80 ; b) 75×48 ; c) 90×6,4 ; d) 2,5×14,4 . 
Bài 3. Rút gọn rồi tính
a) 6,82 - 3,22 ; b) 21,82 - 18,22 ; c) 117,52 - 26,52 - 1440 .
Bài 4. Tính
 5 3 2 2
a) 400×0,81; b) × ; c) (- 5)2 ×32 ; d) 2 - 5 × 2 + 5 . 
 27 20 ( ) ( )
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 3 + 8 - 2 15 ; b) x - 1- 2 x - 2 . 
Bài 6. Phân tích thành nhân tử
a) a - 5 a ; b) a - 7 với a > 0; c) a + 4 a + 4 ; d) xy - 4 x + 3 y - 12.
Bài 7. Giải phương trình
a) x - 5 = 3; b) x - 10 = - 2; c) 2x - 1 = 5 ;
d) 4 - 5x = 12; e) 49(1- 2x + x 2) - 35 = 0; f) x 2 - 9 - 5 x + 3 = 0 .
Bài 8. Rút gọn các biểu thức: a) 4(a - 3)2 với a ³ 3;
b) 9(b - 2)2 với b 0; d) b2(b - 1)2 với b < 0.
Bài 9. Tính: a) ( x - 3)( x + 2); b) ( x - y )( x + y );
 æ ö
 ç 25 49 ÷
 c) ç - + 3÷ 3 ; d) (1+ 3 - 5)(1+ 3 + 5). 
 èç 3 3 ø÷
Bài 10. Tìm x và y , biết x + y + 13 = 2(2 x + 3 y ).
ĐT: 0344 083 6708 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 11. (*) Rút gọn biểu thức ( 14 + 6) 5 - 21 .
HD: ( 14 + 6) 5 - 21 = ( 7 + 3)× 2 × 5 - 21 = ( 7 + 3)× 10 - 2 21
 2
 = ( 7 + 3)× ( 7 - 3) = ( 7 + 3)× 7 - 3 = ...
Bài 12. (*) Chứng minh rằng 7 - 3 < 6 - 2 .
HD: 7 - 3 < 6 - 2 Û 7 + 2 < 6 + 3 .
Bài 13. (*) Tính giá trị của biểu thức A = 7 + 13 - 7 - 13 .
Cách 1: vì 7 + 13 > 7 - 13 nên 7 + 13 > 7 - 13 Þ A > 0.
Bình phương hai vế ta được kết quả rồi tìm A = 2 .
Cách 2: A = 7 + 13 - 7 - 13 Þ 2A = 14 + 2 13 - 14 - 2 13
 2 2
 2A = ( 13 + 1) - ( 13 - 1) = 13 + 1 - 13 - 1 = 2.
 Þ A = 2 .
 --- HẾT ---
 Bài 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc
 a
 ▪ Muốn khai phương một thương (a ³ 0,b > 0), ta có thể lần lượt khai phương số a và b , 
 b
 rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
 ▪ Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số dương b , ta có thể chia số 
 a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
 a a
 Cụ thể: với số a không âm và số dương b , ta có = .
 b b
2. Chú ý
 A A
 ▪ Với các biểu thức A,B (A ³ 0;B > 0), ta có = .
 B B
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ĐT: 0344 083 6709 Toång hôïp: Thaày Hoùa Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Dạng 1: khai phương một thương
 ▪ Dùng quy tắc khai phương một thương: với số a không âm và số dương b , ta có
 a a
 = .
 b b
Ví dụ 1. Tính
 4 49 - 36a
a) : ; b) với a < 0.
 25 121 49
Ví dụ 2. Tính
 652 - 522 11 7
a) ; b) : 1,44 - : 1,44 .
 225 9 9
 x - 5 x - 5
Ví dụ 3. Đẳng thức = đúng với những giá trị nào của x và y ?
 y + 2 y + 2
Dạng 2: Chia các căn bậc hai
 ▪ Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai: với số a không âm và số dương b , ta có
 a a
 = .
 b b
Ví dụ 4. Tính
a) 45 : 80 ; b) (2.3)5 : 23 ×35 .
Ví dụ 5. Tính
 3 52
a) 54 : 2 : 3 ; b) : .
 75 117
Ví dụ 6. Thực hiện phép tính
a) ( 45 - 125 + 20) : 5 ; b) (2 18 + 3 8 - 6 2) : 2 .
Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
 ▪ Tìm điều kiện của biến để biểu thức chưa căn thức có nghĩa.
 ▪ Áp dụng quy tắc khai phương một thương, một tích hay quy tắc nhân, chia các căn bậc 
 hai để rút gọn.
 ▪ Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính.
 316 - 312
Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức .
 312 - 38
Ví dụ 8. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với x = 6
ĐT: 0344 083 670 10 Toång hôïp: Thaày Hoùa