Toán 9 - Chuyên đề hình học

CHUYÊN ĐỀ 1:
Đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Đường trung tuyến của tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K.
DEIF là hình gì?
CM: M, K, H thẳng hàng.
Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN.
Tìm GTNN của SDEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng a.
Tìm quỹ tích điểm K.
Lời giải:
Giã sử M nằm giữa B và D:
a) IED có:
IED là tam giác đều (1)
Chứng minh tương tự ta được IFD là tam giác đều (2). Từ (1) và (2) suy ra DEIF là hình thoi.
b) Vì ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra: AH = 2.HD
Gọi P là trung điểm của AH AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng hàng.
c) VìEDK vuông tại K nên ta có: EF = 2.EK = 2. ED.= .DE Do đó EF đạt GTNN DE đạt GTNN DEAB M trùng với D.
( Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE ).
d) SDEIF = 
e) Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi A/, B/, C/, D/ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. CMR: AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui.
Lời giải: 
Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BD, AC và A/C. Ta có:
+) NI là đường trung bình của AA/C 
 AA/ // NI.
+) MNI có A/ là trung điểm của MI và 
AA/ // NI K là trung điểm của MN.
Chứng minh tương tự thì BB/, CC/, DD/ đều đi qua trung điểm K của MN AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui tại K.
Bài tập:
BT.1: CMR: Trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
BT.2: Cho đoạn thẳng AC và điểm B nằm giữa A và C. Vẽ các tam giác vuông cân ABD và BCE trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AC. Gọi I là trung điểm của AC. Tam giác IDE là tam giác gì? Vì sao?
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ 2:
Định lí Talet và hệ quả
Tam giác đồng dạng
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
* Những điểm lưu ý:
1- Định lý Talet và tam giác đồng dạng chỉ đề cập tới tỉ số của hai đối tượng cùng loại ( cùng là độ dài, cùng là diện tích, )
2- Đối với các bài toán cần thực hiện phép toán ta thường dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng để biến đổi sao cho N = N/ . Trong hình học rất hiếm khi ta thực hiện phép nhân chéo .
3- Đối với bài toán cần thực hiện phép toán ta thường biến đổi , trong đó N = M/.
4- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức có dạng ta cần tìm các đoạn thẳng M = N = P và chứng minh lúc này ta có thể dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng.
5- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a.b = c.d + e.f ta thường tách b = x +y và chứng minh a.x = c.d và b.y = e.f
6- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a2 = c.d + e.f làm tương tự như trên.
Ví dụ 3: Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC sao cho AD, BE, CF đồng qui tại M. Chứng minh rằng:
.
* Định hướng: Cần chuyển các tỉ số ở vế phải về cùng mẫu.
Lời giải:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF tại I và K. Áp dụng định lí Talet ta có:
 và (1)
 (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia BC và các cạnh CA, AB tại D, E, F. CMR:
 .
Định hướng: ( xem lưu ý 4 )
Lời giải:
Vẽ CI // FE, BK // FE CI = BK; MK = MI. 
A.d định lí Talet ta có:
Cộng từng vế của (1) và (2) sẽ được (3).
 đpcm.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Biết rằng đường phân giác ngoài của góc A cắt BC kéo dài tại E. CMR: AE2 = EB. EC – AB. AC
Phân tích:
1.Cần tách AE = x – y thỏa mãn: AE.x = EB. EC và AE.y = AB. AC
2. Giã sử tồn tại M thuộc EA để: EA. EM = EB. EC 
.
Lời giải:
Lấy M thuộc tia đối của tia AE sao cho .
suy ra EA. EM = EB. EC (1).
Lại có: 
 EA. AM = AB. AC (2). Lấy (1) – (2) ta có đpcm.
Ví dụ 6: Cho 4 điểm theo thứ tự E, B, D, C cùng nằm trên một đường thẳng thỏa mãn: và A là một điểm sao cho AE AD. CMR: AD và AE thứ tự là phân giác trong và ngoài của tam giác ABC.
* Định hướng: - Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE là phân giác
	 - Vẽ đường phụ là đt song song để sử dụng (gt) .
Cách 1: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD và AE tại M và N. Theo định lí Talet ta có:
 ( Vì ).
Tam giác AMN vuông tại A có AB là trung tuyến AB = MB. Suy ra (1). Lại có ( vì BM // AC ) (2). Do đó AD là phân giác trong của ABC AE là phân giác ngoài ( vì AE AD ).
Cách 2:
Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE tại M và N. Tương tự cách 1 ta cũng chứng minh được: và .
Ví dụ 7: Cho hình thoi ABCD có . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của AF và CE. CMR:
a) EAC đồng dạng với ACF.
b) 
Lời giải: 
a) Ta có EAD đồng dạng với DCF (vì AD = AC = CD ).
Xét EAC và ACF có: và ; suy ra:
EAC đồng dạng với ACF (c.g.c)
 b) Chứng minh được ACM đồng dạng với AFC mà AC = AD nên ta có 
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có . Kẻ phân giác BI. Vẽ góc về phía trong tam giác. CMR: HI song song với phân giác của góc HCB.
Lời giải: 
Gọi CK là phân giác của góc HCB.
Ta có: (t.c đường phân giác) (1).
Tam giác ACH vuông tại A có , suy ra:
. Khi đó vì CK là phân giác của góc HCB nên ta có: (2)
Kẻ , vì tam giác KCB cân tại K nên: CB = 2BM (3). Từ (2) và (3) đồng thời kết hợp với BMK đồng dạng với BAC suy ra:
(4). Từ (1) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập:
BT.1) Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A ( DBC ). CMR: AD2 = AB.AC – DB.DC
BT.2) Cho hình thang ABCD ( BC // AD ). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và CD sao cho . Đường thẳng MN cắt AC và BD lần lượt ở E và F. CMR: EM = FN
BT.3)Cho tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F là các điểm thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho .
1. Chứng minh:
a) BDE đồng dạng với CFD.
b) BE. CF không đổi
c) ED2 = EF. EB
d) EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác DEF đạt GTLN.
3. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác AEF đạt GTLN.
--------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Đối với tứ giác ABCD cho trước, các khẳng định sau là tương đương:
1. ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. .
3. .
4. MA.MC = MB. MD ( trong đó M là giao điểm của AC và BD ).
5. NA.NB = NC.ND ( trong đó N là giao điểm của AB và CD )
Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
SA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
.
SA2 = SB.SC.
Ví dụ 9:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H BC ). Gọi (I,r), 
( J,r1), (K,r2) lần lượt là các đường tròn nội tiếp ABC, AHB và AHC. CMR:
AI JK.
BJKC là tứ giác nội tiếp.
r2 = r12 + r22
Lời giải:
a) Dễ thấy ABHM là tứ giác nội tiếp, suy ra BM AK. Tương tự: CN AJ. Vậy I là trực tâm AJK, suy ra đpcm.
b) Ta có: 
.
 ( vì ).
Ví dụ 10: Cho đường tròn tâm O và S cố định nằm ngoài (O). Một cát tuyến thay đổi đi qua S cắt (O) tại A và B ( A khác B ).
a) Đường thẳng d vuông góc với OS tại S và cắt các tiếp tuyến với (O) tại A và B lần lượt ở C và D. Chứng minh: SC = SD.
b) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. CMR: Khi cát tuyến SAB thay đổi thì E luôn nằm trên một đường thẳng cố định; xác định đường thẳng đó.
Lời giải:
a) Từ các tứ giác nội tiếp SOBD và SAOC suy ra , từ đó suy ra SC = SD.
b) Vẽ EI SO. Dễ thấy SIKE là tứ giác nội tiếp, suy ra: OI. OS = OK. OE (1).
- Tam giác OBE vuông tại B có đường cao là BK, suy ra:
OK. OE = OB2 = R2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: , không đổi. Vậy E nằm trên đường thẳng EI cố định ( chỉ hai phần đt nằm ngoài đường tròn ).
Ví dụ 11: Từ điểm K ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến KA, KC và cát tuyến KBD với đường tròn ( A, C là tiếp điểm; B nằm giữa K và D ). Gọi M là giao điểm của OK và AC. CMR:
a) AB. CD = AD. BC
b) Tứ giác BMOD nội tiếp
c) Tứ giác BMOE nội tiếp ( E là giao AC và đường thẳng qua O vuông góc với BD ).
d) BE là tiếp tuyến của (O)
e) I, A, C thẳng hàng với I là giao điểm các tiếp tuyến tại B và D. 
f) AC luôn đi qua một điểm cố định khi K thay đổi trên BD cố định ( K ở ngoài (O)).
Lời giải:
a) KBA KAD
KBC KCD.Mà KA = KC đpcm
b) CM được KB. KD = KM. KO
c) Có ; suy ra:
 đpcm.
d) Suy ra từ (c)
e) Có . Lại có IBMOD cùng nằm trên một đường tròn nên suy ra đpcm.
f) Suy ra từ (e).
Ví dụ 12: Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE ( D, E là các tiếp điểm ). Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C ( B ở giữa A và C ). Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đường tròn tâm O tại Q ( Q C ). Gọi giao điểm của AC và DE là I. CMR:
DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn.
AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q.
Lời giải:
a) Ta có:( = ).
b) Vì, suy ra: ( cùng phụ với ).
 Mặt khác nên tứ giác AQIE nội tiếp đường tròn. Suy ra đpcm.
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có , đường phân giác trong của góc cắt BC tại D. Từ D kẻ các tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ tự tại M, N.
CMR: MN2 = MB. NC
Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E ( E khác D ). Gọi giao điểm của BN với CM là F. Chứng minh MBEF là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN.
Lời giải:
a) Dễ thấy AMDN là hình thoi và MDN là tam giác đều, suy ra:
MN2 = MD. ND (1).
Mặt khác hai tam giác BMD và DNC đồng dạng với nhau, do đó: 
MD. ND = MB. NC (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
b) Tứ giác MNDE nội tiếp suy ra:
(1)
Từ (a) suy ra hai tam giác BMN và MNC đồng dạng với nhau; suy ra: 
= = (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
c) Vì MBEF nội tiếp nên ta có 
(1). Chứng minh tương tự thì NCEF là tứ giác nội tiếp và ta củng chứng minh được: NI2 = IF. IE (2). Từ đó suy ra IM = IN.
Ví dụ 14: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên d, kẻ các tiếp tuyến MT, MH với (O) ( T, H là tiếp điểm ). 
Chứng minh TH luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d.
Tìm quỹ tích của điểm N là giao điểm của OM và TH.
Gọi A là hình chiếu của O trên d và E, F, K thứ tự là hình chiếu của A trên MT, MH, TH. CMR: E, F, K thẳng hàng.
CMR: EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d.
Bài tập:
1) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M và trên CD lấy N sao cho . Gọi I, K thứ tự là giao điểm của BD với AM và AN; P là giao điểm của MK và NI.
a) Chứng minh AP MN.
b) Tính tỉ số .
c) Chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2) Cho tam giác nhọn ABC có BC cố định, và nội tiếp (O;R) cho trước.
Gọi K là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó.
Chứng minh B, K, O, C cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn này.
Xác định vị trí của A để ( KB + KC ) đạt GTLN.
3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại T. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OT tại T.
a)Biết d cắt hai đường thẳng AC và BD theo thứ tự tại M và N. CMR: TM = TN.
b)Biết d cắt hai đường thẳng AB và CD theo thứ tự tại E và F. CMR: TE = TF.
4) Cho góc vuông xOy và tam giác ABC vuông tại A; trong đó A cố định nằm trong góc xOy; B chạy trên Ox; C chạy trên Oy. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A trên BC.
CHUYÊN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 )
1) Khai thác bài toán dựa vào cấu trúc lôgic giữa các mệnh đề hình học:
Ví dụ 1: ( Bài 30 – SGK – Trang 116 )
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến của (O;R) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng:
a) .
b) CD = AC + BD.
c) AC. BD = R2.
Đây là một bài toán rất quen thuộc có trong SGK – Toán 9 và hầu hết các em đều giải được. Tuy nhiên rất ít HS thấy được sự tương đương giữa các khẳng định sau:
CD là tiếp tuyến. 
.
CD = AC + BD.
AC. BD = R2.
Thật vậy, kéo dài OD cắt AC tại E. Dễ dàng chứng minh
được OD = OE , AE = BD (*).
+) Nếu thì từ (*) suy ra CED cân tại C CO là phân giác của góc ECD O cách CD một khoảng bằng OA ( = R ) CD là tiếp tuyến của (O;R).
+) Nếu CD = AC + BD thì từ (*) suy ra CD = CE
 CED cân tại C và cũng suy ra được CD là tiếp tuyến của (O;R).
+) Nếu AC. BD = R2 thì từ (*) AC. AE = OA2 (c.g.c) CED cân tại C và cũng suy ra được CD là tiếp tuyến của (O;R).
	Dựa vào sự tương đương giữa các kết quả trên giáo viên có thể thiết kế thành nhiều bài toán khác nhau để học sinh luyện tập.
Ví dụ 2: ( Bài 20 – SBT – Toán 9 ).
	Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.
a) Tam giác MBD là tam giác gì ?
b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.
c) Chứng minh MA = MB + MC.
 	Đây là bài toán rất quen thuộc , lời giải có trong SBT và nhiều tài liệu khác, kết quả cụ thể là:
a) MBD là tam giác đều.
b) BDA = BMC.
c) MA = MB + MC.
Nhận thấy rằng nếu xem:
+ ) Hình H là: “ Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC”.
+ ) Tính chất T là: “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có một đoạn bằng tổng của hai đoạn còn lại”.
	Thì ta chứng minh được:
1) Mọi điểm thuộc hình H thì có tính chất T và ngược lại. 
2) Những điểm không thuộc hình H thì không có tính chất T và ngược lại.
 Do đó giáo viên có thể ra cho HS những bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm không thuộc (O). Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Gợi ý:
* Xét trường hợp điểm M nằm trong góc BAC ( các trường hợp khác hoàn toàn tương tự ).
Vẽ tam giác đều BMD MB = MD và (1).
Dễ dàng chứng minh được BDA = BMC (c.g.c )
 MC = DA (2). 
Vì M (O) nên (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra A, D , M không thẳng hàng và MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của tam giác MAD.	
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thuộc nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC và thỏa mãn MA = MB + MC. Chứng minh rằng ABMC là tứ giác nội tiếp.
Gợi ý: Làm tương tự bài toán 1 và chứng minh được MB = MD , MC = DA. Suy ra MB + MC = MA = MD + DA , suy ra ABMC là tứ giác nội tiếp.
	Bài toán 2 có thể diễn đạt dưới các bài tập sau: 
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) sao cho trong 3 đoạn MA , MB , MC luôn tồn tại một đoạn bằng tổng của hai đoạn kia. Chứng minh rằng điểm M chạy trên một đường tròn cố định. 
Bài 4: Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi x , y , z thứ tự là khoảng cách từ M tới A , B và C. Biết rằng trong ba số x , y , z luôn có một số bằng tổng của hai số còn lại. Tìm quỹ tích điểm M.
Gợi ý: 
Vận dụng bài toán 2 để tìm ra hình H là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.
Vận dụng ví dụ 2 để chứng minh phần đảo.
	Qua một số ví dụ ở trên ta thấy được nếu người dạy biết nắm bắt cấu trúc lôgic của mỗi bài toán thì sẻ tạo ra được nhiều bài toán mới , hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận một bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Từ đó gúp HS phát huy được năng lực giải toán. 
	Bây giờ ta lại tiếp cận ví dụ 2 theo hướng sau:
	“Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thuộc cung BC ( không chứa A ). Các khẳng định sau có tương đương với nhau hay không ?
	(A): Tam giác ABC đều.
	(B): MA = MB + MC.”
	Trong trường hợp này nhiều HS vẫn ngộ nhận là từ (B) cũng suy được ra (A). Điều này là không thể .
	Thật vậy , xét tam giác đều BCA1 ta có: MA1 = MB + MC ( theo vd.2 ).
Lấy A đối xứng với A1 qua đường kính MN , suy ra A thuộc (O) và MA = MA1
 ( tính chất đối xứng ). Do đó với tam giác không đều ABC ta vẫn có MA = MB + MC.
	Để xây dựng bài toán ngược lại trong tình huống này giáo viên cần bổ sung thêm điều kiện để ràng buộc điểm A. Chẳng hạn ta phát biểu bài toán mới như sau:
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung BC không chứa A. Chứng minh rằng nếu MA = MB + MC (*) thì ABC là tam giác đều.
Gợi ý:
Vì tam giác ABC cân tại A nên MA là phân giác của góc BMC. Do đó:
 (1).
 (2).
Vì AB = AC nên từ (1) và (2) suy ra:
. Kết hợp với (*) suy ra được đpcm.
2 ) Khai thác bài toán mới dựa trên kết quả của bài toán cũ:
	Trong ví dụ 2 , nếu lấy kết quả “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán mới thì ta có các kết quả sau:
Bài 6: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của điểm M để:
Chu vi của tam giác MBC đạt giá trị lớn nhất.
Tổng ( MA + MB + MC ) đạt giá trị lớn nhất.
Gợi ý: a) Chu vi của MBC đạt giá trị lớn nhất MB + MC lớn nhất MA lớn nhất MA là đường kính M là trung điểm của cung nhỏ BC.
	b) Làm tương tự.
	Nếu kết hợp với BĐT – Cô si thì ta có ngay kết quả: MA = MB + MB . Dấu bằng xảy ra khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC và khi đó MA cũng đạt giá trị lớn nhất. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của (MA.MB.MC).
	Nếu gọi E là giao điểm của MA và BC thì ta nhận thấy: . Suy ra 
. Từ đó ta có bài toán:
Bài 8: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
.
	Khai thác kết quả bài toán 7, ta nhận ra rằng nếu gọi F là trung điểm cung BC thì ta có .
Suy ra: .
 Do vậy ME = AM – AE AF – AH = FH ( không đổi ). Dấu bằng xảy ra . Từ đó ta có được bài toán như sau:
Bài 9: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để đạt giá trị nhỏ nhất.
	Ta lại thấy rầng khi M trùng với F thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó ta lại có thêm bài toán hay và khó như sau:
Bài 10: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để + đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I và K thứ tự là trung điểm của AH và CK. Chứng minh: .
Gợi ý: 
Ta có:
 IK là đường trung bình của tam giác AHC suy ra IK // AC IK AB. Do đó I là trực tâm của tam giác ABK, suy ra BI AK.
Từ kết quả của bài toán trên ta có nhận xét sau:
Những đường thẳng song song với AK thì vuông góc với BI.
Những đường thẳng song song với BI thì vuông góc với AK.
Từ đó ta tạo các bài toán mới như sau:
+ Gọi D là điểm đối xứng với C qua A DH song song với AK , từ kết quả của ví dụ 3 suy ra BI DH. Từ đó ta có bài toán:
Bài 11: Cho tam giác BCD cân tại B; đường cao BA. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng DH BI.
+ Nếu tạo hình bình hành BDKI thì suy ra DK song song với BI do đó DK vuông góc với AK. Từ đó ta có bài toán mới như sau:
Bài 12: Cho hình thang vuông ABDC ( ) và BD = AC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DK AK.
Gợi ý:
Gọi I là trung điểm của AH.Theo ví dụ 3 ta có BIAK(1)
Vì IK là đường trung bình của tam giác HAC nên suy ra được . 
Tứ giác BDKI có BD // KI và BD = KI BDKI là hình bình hành; suy ra DK // BI (2). Từ (1) và (2) đpcm. 
+ Nếu lấy E đối xứng với B qua D thì tứ giác ABEC là hình chử nhật từ đó ta có bài toán sau:
Bài 13: Cho hình chữ nhật ABEC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; D và K thứ tự là trung điểm của BE và HC. Chứng minh rằng AK DK.
( Giải tương tự bài 12 ).
Xem xét kỹ ví dụ 3 ta thấy kết quả bài toán không hề thay đổi khi ta thay đường trung bình IK bằng đường thẳng song song với AC. Với cách tiếp cận này thì ví dụ còn được khai thác theo hướng sau.
3) Chuyển từ quan hệ bằng nhau sang quan hệ đồng dạng để có bài toán mới:
	Với hướng này thì ví dụ 3 có thể diễn đạt như sau:
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I và K thứ tự là hai điểm thuộc AH và CK sao cho . Chứng minh: .
Gợi ý: 
Vì KI // AC ( Talet đảo ) mà ACAB KIAB. Suy ra I là trực tâm của tam giác ABK BIAK. 
Từ các bài toán 11 , 12 , 13 giúp ta có thêm các bài toán sau:
Bài 15: Cho tam giác nhọn BDC đường cao BA. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I là một điểm thuộc đoạn AH sao cho . Chứng minh rằng DHBI.
Gợi ý: 
- Vẽ IK // AC BIAK (1).
- Chứng minh được DH // AK nhờ vào định lý Talet đảo (2).
Bài 16: Cho hình thang vuông ABDC ( ) và AC = m; BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K thuộc đoạn HC sao cho . Chứng minh rằng DKAK.
Gợi ý: Từ K vẽ KI // AC // BDKIAB; suy ra I là trực tâm của tam giác ABK BIAK (1).
Vì IK // AC IK = BD. Tứ giác BDKI có BD = IK và BD // IK BDKI là hình bình hành DK // BI (2). Từ (1) và (2) DKAK.
Bài 17: Cho hình chử nhật ABEC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; Trên các
đoạn BE và HC lấy các điểm D và K sao cho .
 Chứng minh rằng AK DK.
( Giải tương tự bài 16 ).
 BÀI TẬP:
 Cho tam giác ABC cố định có . Gọi D là trung điểm cạnh BC; đường tròn (O) tiếp xúc với AB , AC thứ tự tại I và K. E , F thứ tự là hai điểm thay đổi trên AB và AC. Xét mối quan hệ giữa các khẳng định sau để tạo ra các bài toán tương tự.
(a) .
(b) EF là tiếp tuyến của đường tròn (D;DI).
(c) ED2 = EF. EB.
(d) Chu vi của AEF bằng ( AI + AK ).