Toán 9 - Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
I/ Phương trình bậc nhất 2 ẩn.
Kiến thức cơ bản:
- pt bậc nhất 2 ẩn là pt có dạng ax + by = c trong đó a, b, c là các số đã biết ( a ạ 0 hoặc b ạ 0); x và y là các ẩn.
- Cặp số (x0 ; y0) được gọi là 1 nghiệm của pt yax = by = c nếu ax0 + by0 = c.
- Pt ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d) gọi là đường thẳng ax + by = c.
. Nếu a ạ 0 ; b ạ 0 thì đường thẳng (d) chính là đường thẳng y = 
. Nếu a = 0 ; b ạ 0 thì đường thẳng (d) là đường thẳng y = , song song với trục Ox nếu c ạ 0, trùng với trục Ox nếu c = 0.
. Nếu b = 0; a ạ 0 thì đường thẳng (d) là đường thẳng x = , song song với trục Oy nếu c ạ 0, trùng với trục Oy nếu c = 0.
Bổ sung:
1 – Cho 2 đường thẳng :
(d1): ax + by = c
(d2): a'x + b'y = c'
Nếu a' ạ 0, b' ạ 0, c'ạ 0 thì ta có:
.(d1) // (d2) Û 
.(d1) trùng với (d2) Û 
2 – Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng ax + by = c
3 – pt đường thẳng (d) có dạng tổng quát là: ax + by = c (a ạ 0 hoặc b ạ 0)
Đặc biệt:
a/ Pt đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0 ; y0) cho trước và song song với đường thẳng y = ax cho trước
y – y0 = a(x – x0) hay y = a(x – x0) + y0
b/ Pt đường thẳng đi qua 2 điểm A(x0 ; y0) và B(x1 ; y1) cho trước
Quy ước rằng, mẫu số bằng 0 thì tử số bằng 0.
c/ Pt đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ m, cắt trục tung tại điểm có tung độ n
 ( m ạ 0, n ạ 0) 
Các VD và bài tập áp dụng:
VD10:
Cho đường thẳng (d):
(m + 1)x + (m – 4)y = 6 (1)
a/ Khi m = 2, hãy vẽ đồ thị của đường thẳng (1). Viết công thức nghiệm tq của pt (1) và tìm nghiệm nguyên của nó.
b/ Tìm giá trị của m để (d) // Oy.
c/ Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Giải:
a/ Với m = 2, pt (1) trở thành 3x – 2y = 6 (1')
. Đồ thị là đường thẳng PQ trong đó P(0 ; -3) ; Q(2 ; 0)
. Công thức tổng quát nghiệm:
3x – 2y = 6 Û 2y = 3x – 6 Û y = 
Vậy 
. Tìm nghiệm nguyên:
. Để y ẻ Z thì ẻ Z, ta đặt = t ẻ Z thì x = 2t + 2 và y = 3t.
Nghiệm nguyên tq của pt (1') là : với t ẻ Z
b/ (d) // Oy Û Û m = 4
Lúc đó đường thẳng (d) có pt 5x + 0y = 6 hay x = 1,2. Đường thẳng này song song với Oy và cắt Ox tại điểm có hoành độ là 1,2.
c/ 
để h có giá trị lớn nhất (GTLN) thì 2m2 – 6m + 17 phải có giá trị nhỏ nhất (GTNN)
2m2 – 6m + 17 = 2(m - )2 + 
min (2m2 – 6m + 17) = ( khi và chỉ khi m = )
Lúc đó max h = 
II – Phương trình với nghiệm nguyên.
1- Tìm nghiệm nguyên của pt bậc nhất 2 ẩn.
Xét pt ax + by = c (1)
Trong đó a, b, c ẻ Z; a ạ 0 hoặc b ạ 0.
Ta có định lí: 
PT (1) có nghiệm nguyên Û c ( a, b)
VD1:
Tìm nghiệm nguyên của pt:
7x + 4y = 23 (2)
Giải: Biểu diễn y theo x và tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này ta được:
(2) Û y = .
Để y nguyên thì phải nguyên .
ta đặt = t ( t ẻ Z) suy ra x = 4t + 1 do đó y = 6 – 2(4t +1) + t = 4 – 7t.
Thử lại bằng cách thay biểu thức của x và y vào pt đã cho ta thấy pt được nghiệm đúng.
Vậy nghiệm nguyên của pt (2) là Với t ẻ Z.
Ta gọi p2 giải như trên là p2 tách ra các giá trị nguyên.
 VD2: 
Tìm nghiệm nguyên của pt: 35x + 20y = 600 (3)
Giải:
(3) Û 7x + 4y = 120.
Ta thấy 4y và 130 đều chia hết cho 4 nên 7x 4 mà (7, 4) = 1 nên x 4.
Đặt x = 4t với t ẻ Z thì 7(4t) + 4y = 120 Û 7t + y = 30 Û y = 30 – 7t.
Thử lại bằng cách thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho ta thấy pt được nghiệm đúng.
Vậy nghiệm nguyên của pt (3) là: Với t ẻ Z
Ta gọi cách giải như trên là p2 phát hiện tính chia hết của 1 ẩn.
Nhận xét về p2 giải:
1. Trong 2 ẩn x và y, ta nhận thấy giá trị tuyệt đối hệ số của ẩn y nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của ẩn x vì thế ta biểu thị y theo x( biểu thị ẩn nào mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn giá trị tuyệt đối hệ số của ẩn kia).
2. Có nhiều cách tách riêng giá trị nguyên của y ở biểu thức của x. Ta nên chọn cách tách nào để hệ số của x trong phân thức còn lại bằng 1 hoặc bằng -1. Như vậy chỉ cần 1 lần đặt ẩn phụ là xong, nếu không thì phải đặt ẩn phụ nhiều lần.
3. Nếu phải tìm nghiệm nguyên dương của pt (1) thì sau khi tìm được nghiệm nguyên tổng quát, ta cần xét thêm 2 điều kiện x > 0, y > 0.
Ta có định lí:
Cho pt ax + by = c (1)
trong đó a, b, c ẻ Z; a ạ 0; b ạ 0 và (a, b) = 1. Nếu (x0 ; y0) là 1 nghiệm nguyên của pt (1) thì pt (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :
	 với t ẻ Z.
Ta gọi (x0 ; y0) là 1 nghiệm riêng. Như vậy, để tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt (1) ta chỉ cần tìm ra 1 ngiệm riêng của pt. Trong trường hợp đơn giản ta có thể tính nhẩm nghiệm riêng này bằng cách thử chọn.
VD3: Tìm nghiệm nguyên của pt 5x – 3y = 2.
Giải:
Dễ thấy x0 = 1; y0 = 1là 1 ngiệm riêng của pt đã cho nên tập hợp các nghiệm nguyên của pt đó là:
	 với t ẻ Z.
Hoặc x0 = 4 ; y0 = 6 là 1 nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của pt đó là 
	 với t ẻ Z.
Ta gọi p2 giải như trên là p2 tìm 1 nghiệm riêng.
2. Phương trình đa thức có 1 hoặc nhiều ẩn.
Phương trình có dạng f(x, y, ...) = 0 trong đó f(x, y, ...) là đa thức của các biến x, y, ... gọi là pt đa thức.
VD 4:
Tìm nghiệm nguyên của pt: x + y + xy = 4. (2) 
Giải:
(2) Û x( y + 1) + ( y + 1) = 5
 Û (x + 1)(y + 1) = 5
Ta gọi pt này là pt ước số.
Vì x, y ẻ Z nên x + 1 ẻ Z; y + 1 ẻ Z và x + 1; y + 1 là các ước số của 5 do đó:
x + 1
5
1
-1
-5
y + 1
1
5
-5
-1
Do đó ngiệm nguyên của pt (2) là : (4 ; 0) ; (0 ; 4) ; (-2 ; - 6) ; (- 6 ;- 2).
Ta gọi p2 này là p2 đưa về pt ước số
VD 5: Tìm ngiệm nguyên của pt: 4x + 6y – 5z = 10
Giải:
Vì 10 2 ; 4x 2 ; 6y 2 suy ra 5z 2 mà (5 , 2 ) = 1 nên z 2.
Đặt z = 2t ( với t ẻ Z) 
Ta có pt 4x + 6y – 5(2t) = 10 Û 2x + 3y – 5t = 5
Biểu diễn x theo y và t và tách ra các giá trị nguyên từ biểu thức chứa y và t:
x = 2t – y + 2 + 
Để x ẻ Z thì ẻ Z. Đặt = k ( k ẻ Z ) ị y = t – 2k + 1 do đó 
x = 2t – (t – 2k + 1) + k ị x = t + 3k – 1.
Vậy ngiệm nguyên của pt là: với t, k ẻ Z.