Đề thi học sinh giỏi môn Toán năm học 2008 - 2009

Đề thi học sinh giỏi môn Toán năm học 2008-2009
I -Thiết kế ma trận
Chủ đề
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
Căn thức bậc hai
2(8đ)
2(8đ)
Hàm số y = ax +b
1(2đ)
1(2đ)
Tam giác vuông
1(3đ)
1(3đ)
Đường tròn
1(4đ)
1(4đ)
Giá trị biểu thức
1(3đ)
1(3đ)
Tổng
6(20đ)
II- Đề bài
Câu 1: (4 điểm)
Cho P =
a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P với x=
c, Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 2:(2điểm)
Tìm k để ba đường thẳng:
đồng quy trong mặt phẳng toạ độ.
Câu 3:( 3 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là một điểm thuộc BC( m khác b,c). Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D,E để diện tích tam giác MDE đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:(4 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh:
BM, CN và đường cao AP của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H
Bốn điểm A,M,H,N cùng nằm trên một đường tròn
HB.HN = HC.HM = HA.HP
Câu 5:(4 điểm) : Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
Câu 6:( 3 điểm)
Cho x > 0 và thoả mãn: Tính 
III- Đáp án:
Câu 1: (4 điểm)
 Cho P=
a, Rút gọn P (1,5 điểm)
 Điều kiện để P có nghĩa là : x ; y; xy	 (0,5 đ)
Ta có :
 P=
= 	 (0,25đ)
= (0,25đ)
= (0,25đ)
= (0,25đ)
b, Tính giá trị của P với x= (1,5 điểm)
Ta thấy x= thoả mãn điều kiện x0 (0,25đ)
Ta có : x===4-2=(-1)2 (0,25đ)
Thay x vào P = , ta có:
P= 	 (0,25đ)
= (0,25đ)
= (0,25đ)
= 
= (0,25đ)
c, Tìm giá trị lớn nhất của P (1 điểm)
 Với mọi x0, ta có:
 	 (0,25đ)
 x+1 (0,25đ)
 1 ( vì x+1>0)
 (0,25đ)
 P
Vậy giá trị lớn nhất của P =1 
 x=1 (0,25đ)
Câu 2:(2 điểm) 
Hai đường thẳng (d1) và (d2) có hệ số của x khác nhau nên chúng cắt nhau tại M. Toạ độ điểm M thoả mãn hai phương trình y = -2x + 3 và y = 3x – 2 (0.5đ)
Suy ra: -2x + 3 =3x – 2 -5x = -5 x = 1
	y = 3.1 - 2 = 1
Toạ độ của điểm M( 1;1) (0.5đ)
	Để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm thì đường thẳng (d3) phải đi qua điểm M(1;1). Do đó ta có:
k . 1 + k – 5 = 1 2k = 6 k = 3. (0.5đ)
Vậy ba đường thẳng (d1), (d=2) và (d3) đồng quy khi k = 3. (0.5đ)
Câu 3:(3điểm) 
Vẽ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC
(H AB, KAC) thì ta có H,K cố định. Tứ giác AHMK là hình chữ nhật vì A = H =K = 900 (1 điểm)
Nên HMK = 900
MH HD MD MH
MK KE ME MK
Do đó SMDE=MD.ME MH.MK với MH,MK không đổi ( vì M,H,K cố định)
 (1 điểm)
Đẳng thức xảy ra khi D trùng H, E trùng K.
Vậy khi D,E lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AC thì diện tích MDE nhỏ nhất. (1 điểm)
Câu 4:( 4 điểm)
a, BNC có trung tuyến MO = BC nên là tam giác vuông tại M, tức là CM AB. Tương tự BNC vuông tại N nên ta có BN AC. Vậy trong tam giác ABC ba đường cao AP, BN và CM cắt nhau tại H. (1.5điểm)
b, Gọi I là trung điểm của AH. Hai tam giác vuông AMH và ANH có chung cạnh huyền AH và có trung tuyến là MI và NI nên : IM = IN = IA = IH
Điều này chứng tỏ I là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A,M,H,N. (1,5 điểm)
c, Xét hai tam giác vuông đồng dạng HMB và HNC ( vì có MHB = NHC), ta có:
 suy ra HB.HN = HC.HM (1)
Tương tự hai tam giác vuông HMA và HPC cũng đồng dạng , ta có:
, suy ra HC.HM = HA.HP (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ thức phải chứng minh:
 HB.HN = HC.HM = HA.HP. ( 1,0 điểm)
Bài 5 (4 điểm): Giải phương trình
a, a. (2 điểm)	
	(1 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b, (2điểm) giải phương trình: + 
Đăt; thì (0,25 điểm)
phương trình cho tương đương (0,5 điểm)
Thay vào phương trình (1) ta được: (0,25 điểm)
Đặt thì phương trình trở thành:
 (0,25 điểm)
hay 
 hoặc (0,25 điểm)
Vì 
Vậy hoặc hoặc 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm hoặc (0,5 điểm)
Câu 6 (3 điểm) : Cho x > 0 và thoả mãn Tính 
Ta có: (0,25 điểm)
(vì x > 0 nên ) (0, 5 điểm)
 (0,25 điểm) 
 (0,25 điểm)
 (0,5 điểm)
Ta có: (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)