Phiếu bài tập số 7 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 11: Luyện tập hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 7 - HỌC Kè I – TUẦN 6 - TIẾT 11 – LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GểC 
 TRONG TAM GIÁC VUễNG.
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , biết AB 21cm,Cà 300. 
a) Tớnh AC,BC. 
b) Phõn giỏc của À cắt BC tại D . Từ D kẻ DE,DF lần lượt vuụng gúc với AB, AC . Tứ giỏc AEDF 
là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 1 1 1
c) Gọi I là điểm nằm giữa A và F . Tia EI cắt DF kộo dài tại K . Chứng minh .
 EK2 EI 2 ED2
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB AC . Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD AB .
a) Giả sử BC 4cm, AB a, AC a 3 , tớnh à CB và độ dài cỏc đoạn thẳng AB,BD. 
b) Qua D dựng đường thẳng vuụng gúc với BC tại E , đường thẳng này cắt tia BA tại K . 
 2
 AH HK
Kẻ AH  DK(H DK) . Chứng minh .
 AB DK
 2
c) Chứng minh AH AC .
 2
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH .
1) Biết AH 4,8cm; BH 3,6cm. Tớnh BC và Ã CB .
2) Biết AC 12cm, Ã CB 300 . Giải tam giỏc vuụng ABC .
3) Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD BC . Gọi I là trung điểm của AD , tia IB cắt 
 AH tại K .
a) Chứng minh AH.AK BH.BC 
 1 4 4
b) Kẻ BE  AD tại E , giả sử Ã BC 600 . Chứng minh .
 BE2 AC2 BC2
Bài 4: Cho tam giỏc đều ABC , BC 24cm , đường cao AH . Qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc 
 với AC cắt tia AH tại D .
a) Tớnh AH,DC .
 tan Hã AC HD
b) Chứng minh .
 tan à CH HA c) Kẻ phõn giỏc của à DC cỏt AH tại I và cắt đường thẳng qua C và song song với AD tại Q . 
 Chứng minh DI.DQ DH.DA 
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại B cú Cà 600 , AC 6cm . Trờn tia đối của tia CB lấy điểm N 
 sao cho CN AC .
a) Tớnh Bã AC, AB,BC. .
 CB AB
b) .
 CN AN
 1 1 1
c) Kẻ BH song song với tia phõn giỏc CE của à CN E,H AN . Chứng minh .
 BH 2 AB2 BN 2
 ĐÁP ÁN PHIẾU SỐ 7 - HỌC Kè I – TUẦN 6 - TIẾT 11 – LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ 
 GểC TRONG TAM GIÁC VUễNG.
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , biết AB 21cm,Cà 300. 
a) Tớnh AC,BC. 
b) Phõn giỏc của À cắt BC tại D . Từ D kẻ DE,DF lần lượt vuụng gúc với AB, AC . Tứ giỏc AEDF 
là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 1 1 1
c) Gọi I là điểm nằm giữa A và F . Tia EI cắt DF kộo dài tại K . Chứng minh .
 EK2 EI 2 ED2
Giải:
 B H
 E 3 D
 2
 1
 A C
 I F
 K a) +) Xột ABC vuụng tại A cú 
AC AB.cotCà ( hệ thức giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
Hay AC 21.cot 300 21 3 cm 
 AB 21 21
+) Xột ABC vuụng tại A cú sinCà sin 300 BC 42 cm 
 BC BC sin 300
b) Xột tứ giỏc AEDF cú 
Eã AF 900 ( vỡ ABC vuụng tại A )
Dã EA 900 ( DE  AB )
Dã FA 900 ( DF  AC )
Do đú tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật.
Mà AD là phõn giỏc của Eã AF 
 AEDF là hỡnh vuụng.
c) Kẻ EH  EK(H DC) EHK vuụng tại E .
Vỡ AEDF là hỡnh vuụng 
 ED  DF
 AE ED
 à ả ã 0
Cú E1 E2 AED 90 
 ả ả ã 0
 E3 E2 HEK 90
 à ả ả
 E1 E3 (cựng phụ với E2 )
Xột AIE vuụng tại A và DHE vuụng tại H cú:
 AE DE
 à ả 
 E1 E3
 AIE DHE ( cạnh gúc vuụng – gúc nhọn kề)
 EI EH (hai cạnh tương ứng)
+) Xột EHK vuụng tại E cú ED  HK 
 1 1 1
 (hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng)
 ED2 EH 2 EK2 1 1 1
Mà EH EI .
 EK2 EI 2 ED2
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB AC . Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD AB .
a) Giả sử BC 4cm, AB a, AC a 3 , tớnh à CB và độ dài cỏc đoạn thẳng AB,BD. 
b) Qua D dựng đường thẳng vuụng gúc với BC tại E , đường thẳng này cắt tia BA tại K . 
 2
 AH HK
Kẻ AH  DK(H DK) . Chứng minh .
 AB DK
 2
c) Chứng minh AH AC .
 2
Giải:a) +) Xột ABC vuụng tại A , cú: B
 AB a 1
tan à CB hay tan à CB à CB 300.
 AC a 3 3 E
+) Xột ABC vuụng tại A , cú: A
 D C
AB BC.sinC (hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
 H
 AB 4.sin 300 2 cm 
Mà AB AD AD 2 cm .
+) Xột ABC vuụng tại A , cú:
 2 2 2
BD AB AD (định lớ Pi - ta - go) K
Hay BD2 22 22 8 BD 8 2 2 cm 
b) +) Xột ADK vuụng tại A , cú:
 AH 2 HK.HD
 (hệ thức cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng)
 2
 AD DH.DK
 2 2
 AH HK.HD HK AH HK
 mà AD AB nờn .
 AD DH.DK DK AB DK
c) Xột AHD và CAB cú
 Dã HA Ã CB ( hai gúc so le trong, AH / /CE )
à HD Bã AC 900 
Do đú CED : CAB (gg) AH AC AC AD
 AH AD. AC. 
 AD BC BC BC
Lại cú AB AC AD AC ( vỡ AB AD ) BD BC (quan hệ đường xiờn và hỡnh chiếu)
 AD AD AD AD AD
 AC. AC. AH AC. (1) 
 BC BD BC BD BD
 2
Lại cú ABD vuụng cõn tại A à BD 450 sin à BD sin 450 
 2
 AD AD 2
mà sin à BD (2)
 BD BD 2
 2
Từ (1) và (2) AH .AC 
 2
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH .
1) Biết AH 4,8cm; BH 3,6cm. Tớnh BC và Ã CB .
2) Biết AC 12cm, Ã CB 300 . Giải tam giỏc vuụng ABC .
3) Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD BC . Gọi I là trung điểm của AD , tia IB cắt 
 AH tại K .
a) Chứng minh AH.AK BH.BC 
 1 4 4
b) Kẻ BE  AD tại E , giả sử Ã BC 600 . Chứng minh .
 BE2 AC2 BC2
Giải:
 D
 B K
 I
 H
 E
 A C
1) Xột ABC vuụng tại A , đường cao AH cú 
AH 2 BH.HC (hệ thức cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng)
 4.82
Hay 4,82 3,6.HC HC 6,4 cm 
 3,6 Vỡ H BC BC BH HC 3.6 6,4 10 cm 
 AH 4,8 3
Xột AHC vuụng tại H cú tan à CB à CB 370 
 HC 6,4 4
 AC 12 12 24
2) +) Xột ABC vuụng tại A cú cosC hay cos300 BC cm 
 BC BC cos300 3
Lại cú AB BC.sin à CB ( hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
 24 12
 hay AB .sin 300 cm .
 3 3
+) ABC vuụng tại A cú Ã BC Ã CB 900 mà Ã CB 300 Ã BC 600 
3) 
a) Xột ADC cú I là trung điểm của AD
 và B là trung điểm của DC 
 IB là đường trung bỡnh của ADC 
 IB / /AC
 1 (tớnh chất đường trung bỡnh của tam giỏc)
 IB AC
 2
+) Vỡ IB / / AC;AC  AB IB  AB (từ vuụng gúc đến song song)
Xột ABC vuụng tại A cú AH  BC 
 AB2 BH.BC (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng) (1)
Xột ABK vuụng tại B cú BH  AK 
 AB2 AH.AK (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH.AK BH.BC 
b) Xột ABI vuụng tại B cú BE  AI BF  AD 
 1 1 1
 (hệ thức cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng) (3)
 BE2 BI 2 AB2
 1 1 1 4
Cú BI AC BI 2 AC2 (4)
 2 4 BI 2 AC2
Xột ABC vuụng tại A cú AB BC.cos à BC (hệ thức giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
 BC BC2 1 4
 hay AB BC.cos600 AB2 (5)
 2 4 AB2 BC2 1 4 4
Từ (3), (4) và (5) suy ra .
 BE2 AC2 BC2
Bài 4: Cho tam giỏc đều ABC , BC 24cm , đường cao AH . Qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc 
 với AC cắt tia AH tại D .
a) Tớnh AH,DC .
 tan Hã AC HD
b) Chứng minh .
 tan à CH HA
c) Kẻ phõn giỏc của à DC cỏt AH tại I và cắt đường thẳng qua C và song song với AD tại Q . 
 Chứng minh DI.DQ DH.DA 
Giải: 
 AB BC AC 24 cm 
a) Tam giỏc ABC đều cú BC 24cm A
 ã 0
 ABC 60 Q
 1 2
 E
 3
 I 2
 B H 1 C
 1 2
Tam giỏc ABC đều cú AH là đường cao AH đồng thời là đường phõn giỏc 
 ả ả 0
 A1 A2 30 .
+) Tam giỏc ACD vuụng tại C cú
 ả
 DC AC.tan A2 ( hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
 24
Hay DC 24.tan 300 cm 
 3
+) Tam giỏc AHC vuụng tại H cú
 ả
 AH AC.cos A2 ( hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng) 
Hay AH 24.cos300 12 3 cm 
b) Xột AHC vuụng tại H cú HC HA
tan Hã AC ;tan à CH 
 HA HC
 tan Hã AC HC HA HC2
 : 2 (1)
 tan à CH HA HC HA
Xột ACD vuụng tại C cú CH là đường cao 
 HC2 HA.HD (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng) (2)
 tan Hã AC HA.HD HD
Từ (1) và (2) 2 
 tan à CH HA HA
 tan Hã AC HD
Vậy .
 tan à CH HA
 ả ã 0
c) Xột ADC vuụng tại C cú A2 ADC 90 (hai gúc nhọn phụ nhau)
 ả 0 ã 0
mà A2 30 ADC 60 
Tam giỏc ADC cú DI là tia phõn giỏc của à DC 
 1 1
 Dả Dả Ã DC .600 300 
 1 2 2 2
 ả 0 ả ả ả 0
Mà A2 30 D1 D2 A2 30 (3)
 ả ả 0 ả ả 0 ả ả
Vỡ C1 C2 90 và A2 C2 90 A2 C1 (4)
 ả ả ả
Từ (3) và (4) D1 D2 C1 
 ả à ả à
Mà CQ / /AD D1 Q (hai gúc so le trong) C1 Q
 ả ả à
Xột DIC và DCQ cú chung D2 và C1 Q 
 DIC : DCQ (gg) 
 DI DC
 DC2 DI.DQ (5)
 DC DQ
Xột ADC vuụng tại C cú CH  AD 
 DC2 DH.DA (hệ thức cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng) (6)
Từ (5) và (6) DI.DQ DH.DA 
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại B cú Cà 600 , AC 6cm . Trờn tia đối của tia CB lấy điểm N 
 sao cho CN AC . a) Tớnh Bã AC, AB,BC. .
 CB AB
b) .
 CN AN
 1 1 1
c) Kẻ BH song song với tia phõn giỏc CE của à CN E,H AN . Chứng minh .
 BH 2 AB2 BN 2
Giải : 
 B
 A C
 H
 E
 N
a) Xột ABC vuụng tại B cú À Cà 900 mà Cà 600 suy ra À 300 . Vậy Bã AC 300 .
 Xột ABC vuụng tại B cú 
 • BC AC.sin Bã AC (hệ thức cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
Hay BC 6.sin 300 3 cm .
 • AB AC.cos Bã AC (hệ thức cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng)
Hay AB 6.cos300 3 3 cm .
b) Xột ACN cú AC AN (GT)
 ACN cõn tại C 
 1800 Ã CN
 Nà Cã AN (1)
 2
Cú à CB à CN 1800 (hai gúc kề bự) mà à CB 600 suy ra à CN 1200 (2)
 1800 1200
Từ (1) và (2) suy ra Nà Cã AN 300
 2
Lại cú Bã AC 300 suy ra Nà Bã AC 
Xột ABC vuụng tại B và NBA vuụng tại B cú Bã AC Nà (cmt) ABC : NBA (gg)
 CB AB
 mà AC AN 
 AC AN
 CB AB
 .
 CN AN
c) Xột ACN cõn tại C cú CE là đường phõn giỏc của à CN 
suy ra CE đồng thời là đường cao ứng với cạnh AN 
 CE  AN 
Mà BH / /CE (GT) suy ra BH  AN (từ vuụng gúc đến song song)
Xột ABN vuụng tại B cú BH  AN
 1 1 1
 (hệ thức cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng)
 BH 2 AB2 BN 2